Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1

Демидович § 1. Производная явной функции

Условия, ответы и подробные решения задач 821–1033

Задачи 821–1033

212 из 212 с разбором

Производные тригонометрических функций

862–875
Найти производную функции

Задача 871

y=tg⁡x2−ctg⁡x2y=\operatorname{tg}\frac x2-\operatorname{ctg}\frac x2

Задача 872

y=tg⁡x−13tg⁡3x+15tg⁡5xy=\operatorname{tg} x-\frac13\operatorname{tg}^3x+\frac15\operatorname{tg}^5x

Задача 873

y=4ctg⁡2x3+ctg⁡8x3y=4\sqrt[3]{\operatorname{ctg}^2x}+\sqrt[3]{\operatorname{ctg}^8x}

Задача 874

y=sec⁡2xa+cosec⁡2xay=\sec^2\frac xa+\operatorname{cosec}^2\frac xa

Задача 875

y=sin⁡[cos⁡2(tg⁡3x)]y=\sin\bigl[\cos^2(\operatorname{tg}^3x)\bigr]

Производные показательных функций

876–885

Задача 876

y=e−x2y=e^{-x^2}

Задача 877

y=2tg⁡1xy=2^{\operatorname{tg}\frac1x}

Задача 878

y=ex(x2−2x+2)y=e^x(x^2-2x+2)

Задача 879

y=[1−x22sin⁡x−(1+x)22cos⁡x]e−xy=\left[\frac{1-x^2}{2}\sin x
-\frac{(1+x)^2}{2}\cos x\right]e^{-x}

Задача 880

y=ex(1+ctg⁡x2)y=e^x\left(1+\operatorname{ctg}\frac x2\right)

Задача 881

y=ln⁡3⋅sin⁡x+cos⁡x3xy=\frac{\ln3\cdot\sin x+\cos x}{3^x}

Задача 882

y=eaxasin⁡bx−bcos⁡bxa2+b2y=e^{ax}\frac{a\sin bx-b\cos bx}{\sqrt{a^2+b^2}}

Задача 883

y=ex+eex+eeexy=e^x+e^{e^x}+e^{e^{e^x}}

Задача 884

y=(ab)x(bx)a(xa)ba>0,b>0y=\left(\frac ab\right)^x
\left(\frac bx\right)^a
\left(\frac xa\right)^b
\qquad
a>0,\quad b>0

Задача 885

y=xaa+axa+aaxa>0y=x^{a^a}+a^{x^a}+a^{a^x}
\qquad
a>0

Производные логарифмических функций

886–912

Задача 886

y=lg⁡3x2y=\lg^3 x^2

Задача 887

y=ln⁡(ln⁡(ln⁡x))y=\ln(\ln(\ln x))

Задача 888

y=ln⁡(ln⁡2(ln⁡3x))y=\ln\bigl(\ln^2(\ln^3x)\bigr)

Задача 889

y=12ln⁡(1+x)−14ln⁡(1+x2)−12(1+x)y=\frac12\ln(1+x)-\frac14\ln(1+x^2)
-\frac1{2(1+x)}

Задача 890

y=14ln⁡x2−1x2+1y=\frac14\ln\frac{x^2-1}{x^2+1}

Задача 891

y=14(1+x4)+14ln⁡x41+x4y=\frac1{4(1+x^4)}
+\frac14\ln\frac{x^4}{1+x^4}

Задача 892

y=126ln⁡x3−2x3+2y=\frac1{2\sqrt6}
\ln\frac{x\sqrt3-\sqrt2}{x\sqrt3+\sqrt2}

Задача 893

y=11−kln⁡1+x1−x+k1−kln⁡1+xk1−xk0<k<1y=\frac1{1-k}\ln\frac{1+x}{1-x}
+\frac{\sqrt{k}}{1-k}
\ln\frac{1+x\sqrt{k}}{1-x\sqrt{k}}
\qquad 0<k<1

Задача 894

y=x+1−ln⁡(1+x+1)y=\sqrt{x+1}-\ln\bigl(1+\sqrt{x+1}\bigr)

Задача 895

y=ln⁡(x+x2+1)y=\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)

Задача 896

y=xln⁡(x+1+x2)−1+x2y=x\ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)-\sqrt{1+x^2}

Опирается на задачу 895

Задача 897

y=xln⁡2(x+1+x2)−21+x2ln⁡(x+1+x2)+2xy=x\ln^2\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)
-2\sqrt{1+x^2}\ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)+2x

Задача 898

y=x2x2+a2+a22ln⁡(x+x2+a2)y=\frac x2\sqrt{x^2+a^2}
+\frac{a^2}{2}\ln\left(x+\sqrt{x^2+a^2}\right)

Опирается на задачу 895

Задача 899

y=12abln⁡a+xba−xba>0, b>0y=\frac1{2\sqrt{ab}}
\ln\frac{\sqrt a+x\sqrt b}{\sqrt a-x\sqrt b}
\qquad a>0,\ b>0

Задача 900

y=2+3x2x41−x2+3ln⁡1+1−x2xy=\frac{2+3x^2}{x^4}\sqrt{1-x^2}
+3\ln\frac{1+\sqrt{1-x^2}}x

Задача 901

y=ln⁡tg⁡x2y=\ln\operatorname{tg}\frac x2

Задача 902

y=ln⁡tg⁡(x2+π4)y=\ln\operatorname{tg}\left(\frac x2+\frac\pi4\right)

Задача 903

y=12ctg⁡2x+ln⁡sin⁡xy=\frac12\operatorname{ctg}^2x+\ln\sin x

Задача 904

y=ln⁡1−sin⁡x1+sin⁡xy=\ln\sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}}

Задача 905

y=−cos⁡x2sin⁡2x+ln⁡1+cos⁡xsin⁡xy=-\frac{\cos x}{2\sin^2x}
+\ln\sqrt{\frac{1+\cos x}{\sin x}}

Задача 906

y=ln⁡b+acos⁡x+b2−a2sin⁡xa+bcos⁡x,0⩽∣a∣<∣b∣y=\ln\frac{b+a\cos x+\sqrt{b^2-a^2}\sin x}
{a+b\cos x},
\qquad 0\leqslant |a|<|b|

Задача 907

y=1x(ln⁡3x+3ln⁡2x+6ln⁡x+6)y=\frac1x\left(\ln^3x+3\ln^2x+6\ln x+6\right)

Задача 908

y=14x4ln⁡1x−116x4y=\frac1{4x^4}\ln\frac1x-\frac1{16x^4}

Задача 909

y=32(1−1+x23)2+3ln⁡(1+1+x23)y=\frac32\left(1-\sqrt[3]{1+x^2}\right)^2
+3\ln\left(1+\sqrt[3]{1+x^2}\right)

Задача 910

y=ln⁡[1x+ln⁡(1x+ln⁡1x)]y=\ln\left[
\frac1x+\ln\left(\frac1x+\ln\frac1x\right)
\right]

Задача 911

y=x[sin⁡(ln⁡x)−cos⁡(ln⁡x)]y=x[\sin(\ln x)-\cos(\ln x)]

Задача 912

y=ln⁡tg⁡x2−cos⁡x⋅ln⁡tg⁡xy=\ln\operatorname{tg}\frac x2-\cos x\cdot\ln\operatorname{tg} x

Производные обратных тригонометрических функций

913–959

Задача 913

y=arcsin⁡x2y=\arcsin\frac x2

Задача 914

y=arccos⁡1−x2y=\arccos\frac{1-x}{\sqrt2}

Задача 915

y=arctg⁡x2ay=\operatorname{arctg}\frac{x^2}{a}

Задача 916

y=12arcctg⁡2xy=\frac1{\sqrt2}\operatorname{arcctg}\frac{\sqrt2}{x}

Задача 917

y=x−arctg⁡xy=\sqrt{x}-\operatorname{arctg}\sqrt{x}

Задача 918

y=x+1−x2 arccos⁡xy=x+\sqrt{1-x^2}\,\arccos x

Задача 919

y=xarcsin⁡x1+x+arctg⁡x−xy=x\arcsin\sqrt{\frac{x}{1+x}}
+\operatorname{arctg}\sqrt{x}-\sqrt{x}

Задача 920

y=arccos⁡1xy=\arccos\frac1x

Задачи 51–100 из 212