Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1

Демидович § 1. Производная явной функции

Условия, ответы и подробные решения задач 821–1033

Задачи 821–1033

213 из 213 с разбором

Производные тригонометрических функций

862–875

Найти производную функции

Задача 871

y=\operatorname{tg}\frac x2-\operatorname{ctg}\frac x2

Задача 872

y=\operatorname{tg} x-\frac13\operatorname{tg}^3x+\frac15\operatorname{tg}^5x

Задача 873

y=4\sqrt[3]{\operatorname{ctg}^2x}+\sqrt[3]{\operatorname{ctg}^8x}

Задача 874

y=\sec^2\frac xa+\operatorname{cosec}^2\frac xa

Задача 875

y=\sin\bigl[\cos^2(\operatorname{tg}^3x)\bigr]

Производные показательных функций

876–885

Задача 876

y=e^{-x^2}

Задача 877

y=2^{\operatorname{tg}\frac1x}

Задача 878

y=e^x(x^2-2x+2)

Задача 879

y=\left[\frac{1-x^2}{2}\sin x -\frac{(1+x)^2}{2}\cos x\right]e^{-x}

Задача 880

y=e^x\left(1+\operatorname{ctg}\frac x2\right)

Задача 881

y=\frac{\ln3\cdot\sin x+\cos x}{3^x}

Задача 882

y=e^{ax}\frac{a\sin bx-b\cos bx}{\sqrt{a^2+b^2}}

Задача 883

y=e^x+e^{e^x}+e^{e^{e^x}}

Задача 884

y=\left(\frac ab\right)^x \left(\frac bx\right)^a \left(\frac xa\right)^b \qquad a>0,\quad b>0

Задача 885

y=x^{a^a}+a^{x^a}+a^{a^x} \qquad a>0

Производные логарифмических функций

886–912

Задача 886

y=\lg^3 x^2

Задача 887

y=\ln(\ln(\ln x))

Задача 888

y=\ln\bigl(\ln^2(\ln^3x)\bigr)

Задача 889

y=\frac12\ln(1+x)-\frac14\ln(1+x^2) -\frac1{2(1+x)}

Задача 890

y=\frac14\ln\frac{x^2-1}{x^2+1}

Задача 891

y=\frac1{4(1+x^4)} +\frac14\ln\frac{x^4}{1+x^4}

Задача 892

y=\frac1{2\sqrt6} \ln\frac{x\sqrt3-\sqrt2}{x\sqrt3+\sqrt2}

Задача 893

y=\frac1{1-k}\ln\frac{1+x}{1-x} +\frac{\sqrt{k}}{1-k} \ln\frac{1+x\sqrt{k}}{1-x\sqrt{k}} \qquad 0<k<1

Задача 894

y=\sqrt{x+1}-\ln\bigl(1+\sqrt{x+1}\bigr)

Задача 895

y=\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)

Задача 896

y=x\ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)-\sqrt{1+x^2}

Опирается на

Задача 897

y=x\ln^2\left(x+\sqrt{1+x^2}\right) -2\sqrt{1+x^2}\ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)+2x

Задача 898

y=\frac x2\sqrt{x^2+a^2} +\frac{a^2}{2}\ln\left(x+\sqrt{x^2+a^2}\right)

Опирается на

Задача 899

y=\frac1{2\sqrt{ab}} \ln\frac{\sqrt a+x\sqrt b}{\sqrt a-x\sqrt b} \qquad a>0,\ b>0

Задача 900

y=\frac{2+3x^2}{x^4}\sqrt{1-x^2} +3\ln\frac{1+\sqrt{1-x^2}}x

Задача 901

y=\ln\operatorname{tg}\frac x2

Задача 902

y=\ln\operatorname{tg}\left(\frac x2+\frac\pi4\right)

Задача 903

y=\frac12\operatorname{ctg}^2x+\ln\sin x

Найти производную функции:

Задача 904

y=\ln\sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}}

Задача 905

y=-\frac{\cos x}{2\sin^2x} +\ln\sqrt{\frac{1+\cos x}{\sin x}}

Задача 906

y=\ln\frac{b+a\cos x+\sqrt{b^2-a^2}\sin x} {a+b\cos x}, \qquad 0\leqslant |a|<|b|

Задача 907

y=\frac1x\left(\ln^3x+3\ln^2x+6\ln x+6\right)

Задача 908

y=\frac1{4x^4}\ln\frac1x-\frac1{16x^4}

Задача 909

y=\frac32\left(1-\sqrt[3]{1+x^2}\right)^2 +3\ln\left(1+\sqrt[3]{1+x^2}\right)

Задача 910

y=\ln\left[ \frac1x+\ln\left(\frac1x+\ln\frac1x\right) \right]

Задача 911

y=x[\sin(\ln x)-\cos(\ln x)]

Задача 912

y=\ln\operatorname{tg}\frac x2-\cos x\cdot\ln\operatorname{tg} x

Производные обратных тригонометрических функций

913–959

Задача 913

y=\arcsin\frac x2

Задача 914

y=\arccos\frac{1-x}{\sqrt2}

Задача 915

y=\operatorname{arctg}\frac{x^2}{a}

Задача 916

y=\frac1{\sqrt2}\operatorname{arcctg}\frac{\sqrt2}{x}

Задача 917

y=\sqrt{x}-\operatorname{arctg}\sqrt{x}

Задача 918

y=x+\sqrt{1-x^2}\,\arccos x

Задача 919

y=x\arcsin\sqrt{\frac{x}{1+x}} +\operatorname{arctg}\sqrt{x}-\sqrt{x}

Задача 920

y=\arccos\frac1x

Задачи 51–100 из 213