Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 912

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти производную функции:

y=\ln\operatorname{tg}\frac x2-\cos x\cdot\ln\operatorname{tg} x

Ответ:

y'=\sin x\ln\operatorname{tg} x, \qquad x\in\bigcup_{k\in\mathbb Z} \left(2\pi k,2\pi k+\frac\pi2\right)

Решение

Оба логарифма требуют положительных аргументов:

\operatorname{tg}\frac x2>0, \qquad \operatorname{tg} x>0

Пересечение этих условий имеет вид

D_y=\bigcup_{k\in\mathbb Z} \left(2\pi k,2\pi k+\frac\pi2\right)

На этой области

\left(\ln\operatorname{tg}\frac x2\right)'=\frac1{\sin x}, \qquad (\ln\operatorname{tg} x)'=\frac1{\sin x\cos x}

Поэтому

\begin{aligned} y' =\frac1{\sin x} &+\sin x\ln\operatorname{tg} x -\cos x\cdot\frac1{\sin x\cos x}=\\ &=\sin x\ln\operatorname{tg} x\end{aligned}