Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 872

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти производную функции

y=\operatorname{tg} x-\frac13\operatorname{tg}^3x+\frac15\operatorname{tg}^5x

Ответ:

y'=1+\operatorname{tg}^6x \qquad x\ne\frac{\pi}{2}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z

Решение

Введём обозначение

t=\operatorname{tg} x

Тогда

y=t-\frac13t^3+\frac15t^5

\frac{dy}{dt}=1-t^2+t^4 \qquad \frac{dt}{dx}=1+t^2

По правилу дифференцирования сложной функции

\begin{aligned} y'=(1-&t^2+t^4)(1+t^2)=\\ &=1+t^6\end{aligned}

Возвращаясь к переменной

x

, получаем

y'=1+\operatorname{tg}^6x

Исходная функция определена при

x\ne\frac{\pi}{2}+\pi k \qquad k\in\mathbb Z