Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 904

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача, подробное решение и ответ.

Задача 904

y=ln⁡1−sin⁡x1+sin⁡xy=\ln\sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}}
Ответ:y′=−1cos⁡x,cos⁡x≠0y'=-\frac1{\cos x},
\qquad
\cos x\ne0

Решение

Идея

Логарифм определён, когда выражение под корнем положительно. При
cos⁡x≠0\cos x\ne0 имеем −1<sin⁡x<1-1<\sin x<1, поэтому обе величины
1−sin⁡x1-\sin x и 1+sin⁡x1+\sin x положительны. При cos⁡x=0\cos x=0 одна
из них равна нулю, и исходная функция не определена. Следовательно,
Dy={x∈R:cos⁡x≠0}D_y=\{x\in\mathbb R:\cos x\ne0\}На этой области можно воспользоваться свойствами логарифма:y=12(ln⁡(1−sin⁡x)−ln⁡(1+sin⁡x))y′=12(−cos⁡x1−sin⁡x−cos⁡x1+sin⁡x)==−cos⁡x2⋅21−sin⁡2x=−1cos⁡x\begin{aligned}
y&=\frac12\bigl(\ln(1-\sin x)-\ln(1+\sin x)\bigr)\\
y'&=\frac12\left(
-\frac{\cos x}{1-\sin x}
-\frac{\cos x}{1+\sin x}
\right)=\\
&=-\frac{\cos x}{2}\cdot
\frac{2}{1-\sin^2x}
=-\frac1{\cos x}
\end{aligned}
Демидович № 904 — решение и ответ