Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 894

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти производную функции

Задача 894

y=x+1−ln⁡(1+x+1)y=\sqrt{x+1}-\ln\bigl(1+\sqrt{x+1}\bigr)
Ответ:y′=12(1+x+1)\displaystyle y'=\frac1{2\bigl(1+\sqrt{x+1}\bigr)} при x>−1x>-1;
y+′(−1)=12y'_+(-1)=\dfrac12.

Решение

Идея

Функция определена при x⩾−1x\geqslant-1. На внутренности области
определения, то есть при x>−1x>-1, положим
u=x+1u=\sqrt{x+1}. Тогда u′=12x+1u'=\dfrac1{2\sqrt{x+1}}, и
y′=u′−u′1+u==12x+1(1−11+x+1)==12(1+x+1)\begin{aligned}
y'&=u'-\frac{u'}{1+u}=\\
&=\frac1{2\sqrt{x+1}}
\left(1-\frac1{1+\sqrt{x+1}}\right)=\\
&=\frac1{2\bigl(1+\sqrt{x+1}\bigr)}
\end{aligned}В граничной точке x=−1x=-1 обычная двусторонняя производная не
определяется. Если рассматривать правую производную, то после замены
h=t2h=t^2 получаемy+′(−1)=lim⁡h→0+h−ln⁡(1+h)h==lim⁡t→0+t−ln⁡(1+t)t2\begin{aligned}
y'_+(-1)&=\lim_{h\to0^+}
\frac{\sqrt h-\ln(1+\sqrt h)}h=\\
&=\lim_{t\to0^+}\frac{t-\ln(1+t)}{t^2}
\end{aligned}Последний предел имеет неопределённость вида 00\frac00. По правилу
Лопиталяlim⁡t→0+t−ln⁡(1+t)t2=lim⁡t→0+1−11+t2t==lim⁡t→0+12(1+t)=12\begin{aligned}
\lim_{t\to0^+}\frac{t-\ln(1+t)}{t^2}
&=\lim_{t\to0^+}
\frac{1-\dfrac1{1+t}}{2t}=\\
&=\lim_{t\to0^+}\frac1{2(1+t)}
=\frac12
\end{aligned}
Демидович № 894 — решение и ответ