Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 917

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача, подробное решение и ответ.

y=\sqrt{x}-\operatorname{arctg}\sqrt{x}

Ответ:

y'=\frac{\sqrt{x}}{2(1+x)}, \qquad x>0

Кроме того,

y'_+(0)=0

Решение

Функция определена при

x\geqslant0

. Для

x>0

\begin{aligned} y' =\frac1{2\sqrt{x}} &-\frac1{1+x}\cdot\frac1{2\sqrt{x}}=\\ &=\frac{\sqrt{x}}{2(1+x)}\end{aligned}

В точке

x=0

обычная двусторонняя производная не рассматривается,
поскольку функция не определена слева. Проверим правую производную.
Функция непрерывна на

[0,x]

и дифференцируема на

(0,x)

. По
теореме Лагранжа для некоторого

\xi_x\in(0,x)

\begin{aligned} y'_+(0) &=\lim_{x\to0^+}\frac{y(x)-y(0)}x=\\ &=\lim_{x\to0^+}y'(\xi_x) =\lim_{x\to0^+}\frac{\sqrt{\xi_x}}{2(1+\xi_x)}=0.\end{aligned}