Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 917

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти производную функции:

Задача 917

y=x−arctg⁡xy=\sqrt{x}-\operatorname{arctg}\sqrt{x}
Ответ:y′=x2(1+x),x>0y'=\frac{\sqrt{x}}{2(1+x)},
\qquad
x>0Кроме того, y+′(0)=0y'_+(0)=0

Решение

Функция определена при x⩾0x\geqslant0. Для x>0x>0y′=12x−11+x⋅12x==x2(1+x)\begin{aligned}
y'
=\frac1{2\sqrt{x}}
&-\frac1{1+x}\cdot\frac1{2\sqrt{x}}=\\
&=\frac{\sqrt{x}}{2(1+x)}
\end{aligned}В нуле проверяем правую производную по определению. Положим t=xt=\sqrt{x} и s=arctg⁡ts=\operatorname{arctg}t, так что t=tan⁡st=\tan s и s→0+s\to0+. Геометрические неравенства sin⁡s⩽s⩽tan⁡s\sin s\leqslant s\leqslant\tan s дают0⩽tan⁡s−s=sin⁡s−scos⁡scos⁡s⩽s(1−cos⁡s)cos⁡s⩽s32cos⁡s.0\leqslant\tan s-s
=\frac{\sin s-s\cos s}{\cos s}
\leqslant\frac{s(1-\cos s)}{\cos s}
\leqslant\frac{s^3}{2\cos s}.В последнем переходе использовано 1−cos⁡s=2sin⁡2(s/2)⩽s2/21-\cos s=2\sin^2(s/2)\leqslant s^2/2. Поскольку tan⁡2s⩾s2\tan^2s\geqslant s^2,0⩽t−arctg⁡tt2⩽s2cos⁡s⟶0.0\leqslant\frac{t-\operatorname{arctg}t}{t^2}
\leqslant\frac{s}{2\cos s}\longrightarrow0.Левая часть — разностное отношение [y(x)−y(0)]/x[y(x)-y(0)]/x. Поэтому y+′(0)=0y'_+(0)=0.