Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 914

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача, подробное решение и ответ.

y=\arccos\frac{1-x}{\sqrt2}

Ответ:

y'=\frac1{\sqrt{2-(1-x)^2}}, \qquad 1-\sqrt2<x<1+\sqrt2

Решение

Проверка

Условие существования арккосинуса даёт

\left|\frac{1-x}{\sqrt2}\right|\leqslant1 \quad\Longleftrightarrow\quad 1-\sqrt2\leqslant x\leqslant1+\sqrt2

Внутри этого отрезка

\begin{aligned} y' &=-\frac{-\frac1{\sqrt2}} {\sqrt{1-\frac{(1-x)^2}{2}}}=\\ &=\frac1{\sqrt{2-(1-x)^2}}\end{aligned}

В концах отрезка отдельно исследуем односторонние разностные
отношения. Для левого конца положим

x=1-\sqrt2\cos t, \qquad t\to0^+.

Тогда

y=t

, и

\frac{y(x)-y(1-\sqrt2)}{x-(1-\sqrt2)} =\frac{t}{\sqrt2(1-\cos t)} \longrightarrow+\infty.

Для правого конца положим

x=1+\sqrt2\cos t, \qquad t\to0^+.

В этом случае

y=\pi-t

, поэтому

\frac{y(x)-y(1+\sqrt2)}{x-(1+\sqrt2)} =\frac{t}{\sqrt2(1-\cos t)} \longrightarrow+\infty.

Итак, в обеих граничных точках конечной односторонней производной нет.