Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 13
Демидович § 13. Задачи на максимум и минимум функций
Условия, ответы и подробные решения задач 1556–1590
Задачи 1556–1590
35 из 35 с разбором
Аналитические задачи на экстремум
1556–1560Доказать, что если функция неотрицательна, то функцияимеет в точности те же точки экстремума, что и функция .
Доказать, что если функция — монотонно возрастающая в строгом смысле при , то функцииимеют одни и те же точки экстремума.
Определить наибольшее значение произведения -й и -й степеней двух положительных чисел, сумма которых постоянна и равна .
Найти наименьшее значение суммы -й и -й степеней двух положительных чисел, произведение которых постоянно и равно .
В каких системах логарифмов существуют числа, равные своему логарифму?
Оптимизация фигур и конструкций
1561–1567Из всех прямоугольников данной площади определить тот, периметр которого наименьший.
Найти прямоугольный треугольник наибольшей площади, если сумма катета и гипотенузы его постоянна.
При каких линейных размерах закрытая цилиндрическая банка данной вместимости будет иметь наименьшую полную поверхность?
В данный круговой сегмент, не превышающий полукруга, вписать прямоугольник с наибольшей площадью.
В эллипсвписать прямоугольник со сторонами, параллельными осям эллипса, площадь которого наибольшая.
В треугольник с основанием и высотой вписать прямоугольник с наибольшим периметром. Исследовать возможность решения этой задачи.
Из круглого бревна диаметра вытёсывается балка с прямоугольным поперечным сечением, основание которого равно и высота . При каких размерах балка будет иметь наибольшую прочность, если прочность её пропорциональна ?
Стереометрическая оптимизация
1568–1573В полушар радиуса вписать прямоугольный параллелепипед с квадратным основанием наибольшего объёма.
В шар радиуса вписать цилиндр наибольшего объёма.
В шар радиуса вписать цилиндр с наибольшей полной поверхностью.
Около данного шара описать конус наименьшего объёма.
Найти наибольший объём конуса с данной образующей .
В прямой круговой конус с углом в осевом сечении и радиусом основания вписать цилиндр с наибольшей полной поверхностью.
Геометрическая оптимизация расстояний и поверхностей
1574–1580Найти кратчайшее расстояние точки от параболы
Найти кратчайшее и наибольшее расстояния точки от окружности
Найти наибольшую хорду эллипсапроходящую через вершину .
Через точку эллипсапровести касательную, образующую с осями координат треугольник, площадь которого наименьшая.
Тело представляет собой прямой круговой цилиндр, завершённый сверху полушаром. При каких линейных размерах это тело будет иметь наименьшую полную поверхность, если объём его равен ?
Поперечное сечение открытого канала имеет форму равнобедренной трапеции. При каком наклоне боков «мокрый периметр» сечения будет наименьшим, если площадь «живого сечения» воды в канале равна , а уровень воды равен ?
Извилистостью замкнутого контура, ограничивающего площадь , называется отношение периметра этого контура к длине окружности, ограничивающей круг той же площади .
Какова форма равнобедренной трапеции , обладающей наименьшей извилистостью, если основание и острый угол ?
Какова форма равнобедренной трапеции , обладающей наименьшей извилистостью, если основание и острый угол ?
Прикладные задачи на оптимизацию
1581–1590Какой сектор следует вырезать из круга радиуса , чтобы из оставшейся части можно было свернуть воронку наибольшей вместимости?
Завод отстоит от железной дороги, идущей с юга на север и проходящей через город , считая по кратчайшему расстоянию, на расстояние . Под каким углом к железной дороге следует построить подъездной путь от завода, чтобы транспортировка грузов из в была наиболее экономичной, если стоимость провоза тонны груза на расстоянии 1 км составляет по подъездному пути р., по железной дороге р. и город расположен на расстоянии севернее завода ?
Два корабля плывут с постоянными скоростями и по прямым линиям, составляющим угол между собой. Определить наименьшее расстояние между кораблями, если расстояния их от точки пересечения путей в некоторый момент были соответственно равны и .
В точках и находятся источники света соответственно силой и кандел. На отрезке найти наименее освещённую точку .
Светящаяся точка находится на линии центров двух непересекающихся шаров радиусов и и расположена вне этих шаров. При каком положении точки сумма освещённых частей поверхности шаров будет наибольшая?
На какой высоте над центром круглого стола радиуса следует поместить электрическую лампочку, чтобы освещённость края стола была наибольшей?
Указание. Освещённость выражается формулойгде — угол наклона лучей к плоскости стола, — расстояние источника света от освещаемой площадки, — сила источника света.
Указание. Освещённость выражается формулойгде — угол наклона лучей к плоскости стола, — расстояние источника света от освещаемой площадки, — сила источника света.
К реке шириной построен под прямым углом канал шириной . Какой максимальной длины суда могут входить в этот канал?
Суточные расходы при плавании судна состоят из двух частей: постоянной, равной р., и переменной, возрастающей пропорционально кубу скорости. При какой скорости плавание судна будет наиболее экономичным?
Груз, лежащий на горизонтальной шероховатой плоскости, требуется сдвинуть с места приложенной силой. При каком наклоне этой силы к горизонту её значение будет наименьшим, если коэффициент трения груза равен ?
В чашку, имеющую форму полушара радиуса , опущен стержень длины . Найти положение равновесия стержня.