Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 885

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти производную функции

Задача 885

y=xaa+axa+aaxa>0y=x^{a^a}+a^{x^a}+a^{a^x}
\qquad
a>0
Ответ:y′=aaxaa−1+axaln⁡a⋅axa−1+aaxln⁡a⋅axln⁡a\begin{aligned}
y'={}&a^a x^{a^a-1}
+a^{x^a}\ln a\cdot a x^{a-1}\\
&+a^{a^x}\ln a\cdot a^x\ln a
\end{aligned}

Решение

Идея

Параметр aa постоянен. Для произвольного a>0a>0 рассматриваем x>0x>0.
Дифференцируем три слагаемых отдельно, во втором и третьем применяя
правило сложной функции:
(xaa)′=aaxaa−1(axa)′=axaln⁡a⋅axa−1(aax)′=aaxln⁡a⋅axln⁡a\begin{aligned}
\left(x^{a^a}\right)'
&=a^a x^{a^a-1}\\
\left(a^{x^a}\right)'
&=a^{x^a}\ln a\cdot a x^{a-1}\\
\left(a^{a^x}\right)'
&=a^{a^x}\ln a\cdot a^x\ln a
\end{aligned}Складывая найденные производные, получаем искомый результат.
Демидович № 885 — решение и ответ