Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1

Демидович § 1. Производная явной функции

Условия, ответы и подробные решения задач 821–1033

Задачи 821–1033

213 из 213 с разбором

Производные обратных тригонометрических функций

913–959
Найти производную функции:

Задача 921

y=arcsin⁡(sin⁡x)y=\arcsin(\sin x)
Найти производную функции

Задача 922

y=arccos⁡(cos⁡2x)y=\arccos(\cos^2x)

Задача 923

y=arcsin⁡(sin⁡x−cos⁡x)y=\arcsin(\sin x-\cos x)

Задача 924

y=arccos⁡1−x2y=\arccos\sqrt{1-x^2}

Задача 925

y=arctg⁡1+x1−xy=\operatorname{arctg}\frac{1+x}{1-x}

Задача 926

y=arcctg⁡(sin⁡x+cos⁡xsin⁡x−cos⁡x)y=\operatorname{arcctg}
\left(\frac{\sin x+\cos x}{\sin x-\cos x}\right)

Задача 927

y=2a2−b2arcctg⁡(a−ba+btg⁡x2),a>b⩾0y=\frac2{\sqrt{a^2-b^2}}
\operatorname{arcctg}
\left(\sqrt{\frac{a-b}{a+b}}\operatorname{tg}\frac x2\right)
,\qquad a>b\geqslant0

Задача 928

y=arcsin⁡1−x21+x2y=\arcsin\frac{1-x^2}{1+x^2}

Задача 929

y=1arccos⁡2(x2)y=\frac1{\arccos^2(x^2)}

Задача 930

y=arctg⁡x+13arctg⁡(x3)y=\operatorname{arctg} x+\frac13\operatorname{arctg}(x^3)

Задача 931

y=ln⁡(1+sin⁡2x)−2sin⁡x arctg⁡(sin⁡x)y=\ln(1+\sin^2x)-2\sin x\,\operatorname{arctg}(\sin x)

Задача 932

y=ln⁡(arccos⁡1x)y=\ln\left(\arccos\frac1{\sqrt{x}}\right)

Задача 933

y=ln⁡x+ax2+b2+a2barctg⁡xb,b≠0y=\ln\frac{x+a}{\sqrt{x^2+b^2}}
+\frac{a^2}{b}\operatorname{arctg}\frac xb,
\qquad b\ne0

Задача 934

y=x2a2−x2+a22arcsin⁡xa,a>0y=\frac x2\sqrt{a^2-x^2}
+\frac{a^2}{2}\arcsin\frac xa
,\qquad a>0

Задача 935

y=16ln⁡(x+1)2x2−x+1+13arctg⁡2x−13y=\frac16\ln\frac{(x+1)^2}{x^2-x+1}
+\frac1{\sqrt3}\operatorname{arctg}\frac{2x-1}{\sqrt3}

Задача 936

y=142ln⁡x2+x2+1x2−x2+1−122arctg⁡x2x2−1y=\frac1{4\sqrt2}
\ln\frac{x^2+x\sqrt2+1}{x^2-x\sqrt2+1}
-\frac1{2\sqrt2}
\operatorname{arctg}\frac{x\sqrt2}{x^2-1}

Задача 937

y=x(arcsin⁡x)2+21−x2 arcsin⁡x−2xy=x(\arcsin x)^2
+2\sqrt{1-x^2}\,\arcsin x-2x

Задача 938

y=arccos⁡xx+12ln⁡1−1−x21+1−x2y=\frac{\arccos x}{x}
+\frac12\ln
\frac{1-\sqrt{1-x^2}}{1+\sqrt{1-x^2}}

Задача 939

y=arctg⁡x2−1−ln⁡xx2−1y=\operatorname{arctg}\sqrt{x^2-1}
-\frac{\ln x}{\sqrt{x^2-1}}

Задача 940

y=arcsin⁡x1−x2+12ln⁡1−x1+xy=\frac{\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}
+\frac12\ln\frac{1-x}{1+x}

Задача 941

y=112ln⁡x4−x2+1(x2+1)2−123arctg⁡32x2−1y=\frac1{12}\ln\frac{x^4-x^2+1}{(x^2+1)^2}
-\frac1{2\sqrt3}\operatorname{arctg}\frac{\sqrt3}{2x^2-1}

Задача 942

y=x61+x12−arcctg⁡x6y=\frac{x^6}{1+x^{12}}-\operatorname{arcctg}x^6

Задача 943

y=ln⁡1−x31+x3+x23+3 arctg⁡1+2x33y=\ln\frac{1-\sqrt[3]{x}}
{\sqrt{1+\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{x^2}}}
+\sqrt3\,\operatorname{arctg}\frac{1+2\sqrt[3]{x}}{\sqrt3}

Задача 944

y=arctg⁡x1+1−x2y=\operatorname{arctg}\frac{x}{1+\sqrt{1-x^2}}

Задача 945

y=arcctg⁡a−2x2ax−x2a>0y=\operatorname{arcctg}\frac{a-2x}{2\sqrt{ax-x^2}}
\qquad a>0

Задача 946

y=3−x21−2x−x2+2arcsin⁡1+x2y=\frac{3-x}{2}\sqrt{1-2x-x^2}
+2\arcsin\frac{1+x}{\sqrt2}

Задача 947

y=14ln⁡1+x44+x1+x44−x−12arctg⁡1+x44xy=\frac14\ln
\frac{\sqrt[4]{1+x^4}+x}{\sqrt[4]{1+x^4}-x}
-\frac12\operatorname{arctg}\frac{\sqrt[4]{1+x^4}}x

Задача 948

y=arctg⁡(tg⁡2x)y=\operatorname{arctg}(\operatorname{tg}^2x)

Задача 949

y=1−x2 ln⁡1−x1+x+12ln⁡1−1−x21+1−x2+1−x2+arcsin⁡xy=\sqrt{1-x^2}\,\ln\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}
+\frac12\ln\frac{1-\sqrt{1-x^2}}{1+\sqrt{1-x^2}}
+\sqrt{1-x^2}+\arcsin x

Задача 950

y=xarctg⁡x−12ln⁡(1+x2)−12(arctg⁡x)2y=x\operatorname{arctg} x-\frac12\ln(1+x^2)-\frac12(\operatorname{arctg} x)^2

Задача 951

y=ln⁡(ex+1+e2x)y=\ln\left(e^x+\sqrt{1+e^{2x}}\right)

Задача 952

y=arctg⁡(x+1+x2)y=\operatorname{arctg}\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)

Задача 953

y=arcsin⁡sin⁡asin⁡x1−cos⁡acos⁡xy=\arcsin\frac{\sin a\sin x}{1-\cos a\cos x}

Задача 954

y=143ln⁡x2+2−x3x2+2+x3+12arctg⁡x2+2xy=\frac1{4\sqrt3}
\ln\frac{\sqrt{x^2+2}-x\sqrt3}{\sqrt{x^2+2}+x\sqrt3}
+\frac12\operatorname{arctg}\frac{\sqrt{x^2+2}}x

Задача 955

y=122arctg⁡x21+x4−142ln⁡1+x4−x21+x4+x2y=\frac1{2\sqrt2}\operatorname{arctg}\frac{x\sqrt2}{\sqrt{1+x^4}}
-\frac1{4\sqrt2}
\ln\frac{\sqrt{1+x^4}-x\sqrt2}
{\sqrt{1+x^4}+x\sqrt2}

Задача 956

y=x1−x21+x2−32arcctg⁡x21−x2y=\frac{x\sqrt{1-x^2}}{1+x^2}
-\frac3{\sqrt2}\operatorname{arcctg}
\frac{x\sqrt2}{\sqrt{1-x^2}}

Задача 957

y=arccos⁡(sin⁡x2−cos⁡x2)y=\arccos(\sin x^2-\cos x^2)

Задача 958

y=arcsin⁡(sin⁡x2)+arccos⁡(cos⁡x2)y=\arcsin(\sin x^2)+\arccos(\cos x^2)

Задача 959

y=emarcsin⁡x[cos⁡(marcsin⁡x)+sin⁡(marcsin⁡x)]y=e^{m\arcsin x}
\left[\cos(m\arcsin x)+\sin(m\arcsin x)\right]

Сложные функции и логарифмическое дифференцирование

960–966

Задача 960

Найти производные функций:а) y=arctg⁡ex−ln⁡e2xe2x+1\text{а) }y=\operatorname{arctg} e^x-
\ln\sqrt{\frac{e^{2x}}{e^{2x}+1}}б) y=1+1+1+x443\text{б) }y=\sqrt{1+\sqrt[3]{1+\sqrt[4]{1+x^4}}}в) y=arcctg⁡1ctg⁡1x2\text{в) }y=\operatorname{arcctg}
\frac{1}{\sqrt{\operatorname{ctg}\dfrac{1}{x^2}}}г) y=ln⁡2 ⁣(sec⁡(2x3))\text{г) }y=\ln^2\!\left(\sec\left(2\sqrt[3]{x}\right)\right)
Найти производную функции:

Задача 961

y=x+xx+xxx,x>0y=x+x^x+x^{x^x},
\qquad x>0

Задача 962

y=xxa+xax+axx,a>0,x>0y=x^{x^a}+x^{a^x}+a^{x^x},
\qquad a>0,
\quad x>0

Задача 963

y=xx,x>0y=x^{\sqrt{x}},
\qquad x>0

Задача 964

y=(sin⁡x)cos⁡x+(cos⁡x)sin⁡xy=(\sin x)^{\cos x}+(\cos x)^{\sin x}

Задача 965

1.y=(ln⁡x)xxln⁡xy=\frac{(\ln x)^x}{x^{\ln x}}2.y=[arcsin⁡(sin⁡2x)arccos⁡(cos⁡2x)]arctg⁡2xy=\left[
\frac{\arcsin(\sin^2x)}{\arccos(\cos^2x)}
\right]^{\operatorname{arctg}^2x}

Задача 966

y=log⁡xey=\log_x e

Производные гиперболических функций

967–971

Задача 967

y=ln⁡(ch⁡x)+12ch⁡2xy=\ln(\operatorname{ch}x)+\frac1{2\operatorname{ch}^2x}

Задача 968

y=ch⁡xsh⁡2x−ln⁡(cth⁡x2)y=\frac{\operatorname{ch}x}{\operatorname{sh}^2x}
-\ln\left(\operatorname{cth}\frac x2\right)

Задача 969

y=arctg⁡(th⁡x)y=\operatorname{arctg}(\operatorname{th}x)

Задача 970

y=arccos⁡(1ch⁡x)y=\arccos\left(\frac1{\operatorname{ch}x}\right)

Задачи 101–150 из 213