Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 906

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача, подробное решение и ответ.

y=\ln\frac{b+a\cos x+\sqrt{b^2-a^2}\sin x} {a+b\cos x}, \qquad 0\leqslant |a|<|b|

Ответ:

y'=\frac{\sqrt{b^2-a^2}}{a+b\cos x}, \qquad b(a+b\cos x)>0

Решение

Проверка

Положим

c=\sqrt{b^2-a^2}

Из условия

|a|<|b|

следует, что

b\ne0

c>0

. Обозначим
числитель и знаменатель дроби через

N=b+a\cos x+c\sin x, \qquad D=a+b\cos x

По неравенству Коши–Буняковского

\begin{aligned} |a\cos x+c\sin x| &\leqslant \sqrt{a^2+c^2}\sqrt{\cos^2x+\sin^2x}=\\ &=\sqrt{a^2+c^2}=|b|\end{aligned}

Поэтому при

b>0

N=b+a\cos x+c\sin x\geqslant b-|b|=0,

а при

b<0

N=b+a\cos x+c\sin x\leqslant b+|b|=0.

Кроме того,

\begin{aligned} &(b+a\cos x+c\sin x) (b+a\cos x-c\sin x)=\\ &\quad=(a+b\cos x)^2=D^2\end{aligned}

Следовательно, при

D\ne0

числитель

N

отличен от нуля и имеет
тот же знак, что и

b

. Аргумент логарифма положителен тогда и только
тогда, когда

D

имеет знак

b

. Значит,

D_y=\{x\in\mathbb R:b(a+b\cos x)>0\}

На этой области

\begin{aligned} y' &=\frac{-a\sin x+c\cos x}{N} +\frac{b\sin x}{D}=\\ &=\frac{(-a\sin x+c\cos x)D+b\sin x\,N}{ND}\end{aligned}

Числитель последней дроби упрощается:

\begin{aligned} (-a\sin x+c\cos x)&(a+b\cos x) +b\sin x(b+a\cos x+c\sin x)=\\ &\quad=(b^2-a^2)\sin x+ac\cos x+bc=\\ &\quad=c(b+a\cos x+c\sin x)=cN\end{aligned}

Так как

N\ne0

на области определения, сокращаем дробь:

y'=\frac{c}{D} =\frac{\sqrt{b^2-a^2}}{a+b\cos x}