Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1

Демидович § 1. Производная явной функции

Условия, ответы и подробные решения задач 821–1033

Задачи 821–1033

212 из 212 с разбором

Свойства и применения производной

1018–1028

Задача 1022

Пусть ограниченная функция f(x)f(x) дифференцируема в интервале
(x0,+∞)(x_0,+\infty) и существуетlim⁡x→∞f′(x)\lim_{x\to\infty}f'(x)Следует ли отсюда, что существуетlim⁡x→∞f(x)\lim_{x\to\infty}f(x)конечный или бесконечный?

Рассмотреть пример f(x)=cos⁡(ln⁡x)f(x)=\cos(\ln x).

Задача 1023

Можно ли почленно дифференцировать неравенство между функциями?

Задача 1024

Вывести формулы для сумм:а) Pn=1+2x+3x2+⋯+nxn−1Qn=12+22x+32x2+⋯+n2xn−1\begin{aligned}
\text{а) }P_n&=1+2x+3x^2+\cdots+nx^{n-1}\\
Q_n&=1^2+2^2x+3^2x^2+\cdots+n^2x^{n-1}
\end{aligned}Указание. Рассмотреть (x+x2+⋯+xn)′(x+x^2+\cdots+x^n)'.б) Sn=sin⁡x+sin⁡2x+⋯+sin⁡nxTn=cos⁡x+2cos⁡2x+⋯+ncos⁡nx\begin{aligned}
\text{б) }S_n&=\sin x+\sin2x+\cdots+\sin nx\\
T_n&=\cos x+2\cos2x+\cdots+n\cos nx
\end{aligned}

Задача 1025

Вывести формулу для суммы:Sn=ch⁡x+2ch⁡(2x)+⋯+nch⁡(nx)S_n=\operatorname{ch}x+2\operatorname{ch}(2x)+\cdots
+n\operatorname{ch}(nx)Указание.Sn=(sh⁡x+sh⁡(2x)+⋯+sh⁡(nx))′S_n=(\operatorname{sh}x+\operatorname{sh}(2x)+\cdots
+\operatorname{sh}(nx))'

Задача 1026

Пользуясь тождествомcos⁡x2cos⁡x4⋯cos⁡x2n=sin⁡x2nsin⁡x2n\begin{aligned}
\cos\frac x2\cos\frac x4\cdots\cos\frac{x}{2^n} &=\frac{\sin x}{2^n\sin\dfrac{x}{2^n}}
\end{aligned}вывести формулу для суммы:Sn=12tg⁡x2+14tg⁡x4+⋯+12ntg⁡x2nS_n=\frac12\operatorname{tg}\frac x2+\frac14\operatorname{tg}\frac x4+\cdots+
\frac1{2^n}\operatorname{tg}\frac{x}{2^n}

Задача 1027

Доказать, что производная чётной дифференцируемой функции есть функция
нечётная, а производная нечётной дифференцируемой функции есть функция
чётная.

Дать геометрическую интерпретацию этого факта.

Задача 1028

Доказать, что производная дифференцируемой периодической функции есть
функция снова периодическая с тем же периодом.

Скорости изменения и производные площадей

1029–1033

Задача 1029

С какой скоростью возрастает площадь круга в тот момент, когда радиус
этого круга R=10R=10 см, если радиус круга растёт равномерно со
скоростью 2 смс2\,\dfrac{\text{см}}{\text{с}}?

Задача 1030

С какой скоростью изменяются площадь и диагональ прямоугольника в тот
момент, когда одна сторона его x=20x=20 м, а другая сторона y=15y=15 м,
если одна сторона прямоугольника уменьшается со скоростью
1 мс1\,\dfrac{\text{м}}{\text{с}}, а другая возрастает со скоростью
2 мс2\,\dfrac{\text{м}}{\text{с}}?

Задача 1031

Из одного и того же порта одновременно вышли пароход AA в
направлении на север и пароход BB в направлении на восток. С какой
скоростью возрастает расстояние между ними, если скорость парохода
AA равна 30 кмч30\,\dfrac{\text{км}}{\text{ч}}, а парохода BB
равна 40 кмч40\,\dfrac{\text{км}}{\text{ч}}?

Задача 1032

Пустьf(x)={x,0⩽x⩽22x−2,2<x<+∞f(x)=
\begin{cases}
x, & 0\leqslant x\leqslant2\\
2x-2, & 2<x<+\infty
\end{cases}и S(x)S(x) — площадь, ограниченная кривой y=f(x)y=f(x), осью OxOx
и перпендикуляром к оси OxOx, проведённым в точке xx
(x⩾0)(x\geqslant0).

Составить аналитическое выражение функции S(x)S(x), найти производную
S′(x)S'(x) и построить график функции y=S′(x)y=S'(x).

Задача 1033

Функция S(x)S(x) есть площадь, ограниченная дугой окружностиy=a2−x2y=\sqrt{a^2-x^2}осью OxOx и двумя перпендикулярами к оси OxOx, проведёнными в
точках 00 и xx (∣x∣⩽a)(|x|\leqslant a).

Составить аналитическое выражение функции S(x)S(x), найти производную
S′(x)S'(x) и построить график этой производной.

Задачи 201–212 из 212