Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 919

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти производную функции:

y=x\arcsin\sqrt{\frac{x}{1+x}} +\operatorname{arctg}\sqrt{x}-\sqrt{x}

Ответ:

y'=\operatorname{arctg}\sqrt{x}, \qquad x>0

Кроме того,

y'_+(0)=0

Решение

Из наличия

\sqrt{x}

следует

x\geqslant0

. На этом луче

0\leqslant\frac{x}{1+x}<1

Это означает, что выражение под корнем принадлежит

[0,1)

, и после
извлечения корня результат также остаётся в

[0,1)

. Следовательно,
арксинус определён, а область определения исходной функции равна

[0,+\infty)

Положим

t=\sqrt{x}

. Тогда

t\geqslant0

, и

\sin(\operatorname{arctg} t)=\frac{t}{\sqrt{1+t^2}}

Оба угла

\arcsin\dfrac{t}{\sqrt{1+t^2}}

\operatorname{arctg} t

принадлежат

[0,\dfrac\pi2)

, поэтому

\arcsin\sqrt{\frac{x}{1+x}}=\operatorname{arctg}\sqrt{x}

Следовательно,

y=(x+1)\operatorname{arctg}\sqrt{x}-\sqrt{x}

При

x>0

\begin{aligned} y' =\operatorname{arctg}\sqrt{x} & +(x+1)\frac1{1+x}\cdot\frac1{2\sqrt{x}} -\frac1{2\sqrt{x}}=\\ &=\operatorname{arctg}\sqrt{x}\end{aligned}

При

x=0

имеем

y(0)=0

. Положив

t=\sqrt{x}>0

, получаем

\frac{y(x)-y(0)}x =\frac{(1+t^2)\operatorname{arctg}t-t}{t^2} =\operatorname{arctg}t-\frac{t-\operatorname{arctg}t}{t^2}.

Первое слагаемое стремится к нулю по непрерывности арктангенса, второе — по оценке, доказанной в №917. Поэтому

y'_+(0)=0