Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 915

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача, подробное решение и ответ.

Задача 915

y=arctg⁡x2ay=\operatorname{arctg}\frac{x^2}{a}
Ответ:При a≠0a\ne0y′=2axa2+x4,x∈Ry'=\frac{2ax}{a^2+x^4},
\qquad
x\in\mathbb RПри a=0a=0 исходная формула функцию не задаёт

Решение

Идея

Сначала отделим вырожденный случай. При a=0a=0 дробь
x2a\dfrac{x^2}{a} не определена ни при одном xx, поэтому исходная
запись не задаёт вещественную функцию.
Пусть a≠0a\ne0. Тогда область определения — вся числовая прямая.
По формуле производной арктангенсаy′=2xa1+x4a2=2axa2+x4\begin{aligned}
y'
&=\frac{\frac{2x}{a}}
{1+\frac{x^4}{a^2}}
=\frac{2ax}{a^2+x^4}
\end{aligned}