Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 902

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти производную функции

Задача 902

y=ln⁡tg⁡(x2+π4)y=\ln\operatorname{tg}\left(\frac x2+\frac\pi4\right)
Ответ:При
−π2+2πk<x<π2+2πk\displaystyle -\frac\pi2+2\pi k<x<\frac\pi2+2\pi k,
k∈Zk\in\mathbb Z, имеем y′=1cos⁡x\displaystyle y'=\frac1{\cos x}

Решение

Пустьu=x2+π4u=\frac x2+\frac\pi4Условие tg⁡u>0\operatorname{tg} u>0 даёт область определения−π2+2πk<x<π2+2πkk∈Z-\frac\pi2+2\pi k<x<\frac\pi2+2\pi k
\qquad
k\in\mathbb ZДифференцируем:y′=1tg⁡u⋅1cos⁡2u⋅12==1sin⁡(2u)=1cos⁡x\begin{aligned}
y'&=\frac1{\operatorname{tg} u}\cdot\frac1{\cos^2u}\cdot\frac12=\\
&=\frac1{\sin(2u)}
=\frac1{\cos x}
\end{aligned}поскольку 2u=x+π22u=x+\dfrac\pi2.
Демидович № 902 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика