Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 899

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти производную функции

y=\frac1{2\sqrt{ab}} \ln\frac{\sqrt a+x\sqrt b}{\sqrt a-x\sqrt b} \qquad a>0,\ b>0

Ответ:При

|x|<\sqrt{\dfrac ab}

имеем

\displaystyle y'=\frac1{a-bx^2}

Решение

Идея

Аргумент логарифма положителен тогда и только тогда, когда

-\sqrt{\dfrac ab}<x<\sqrt{\dfrac ab}

.
Дифференцируем разность логарифмов:

\begin{aligned} y'&=\frac1{2\sqrt{ab}}\left( \frac{\sqrt b}{\sqrt a+x\sqrt b} +\frac{\sqrt b}{\sqrt a-x\sqrt b} \right)=\\ &=\frac1{2\sqrt{ab}}\cdot \frac{2\sqrt{ab}}{a-bx^2} =\frac1{a-bx^2}\end{aligned}