Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 7

Демидович § 7. Возрастание и убывание функции. Неравенства

Условия, ответы и подробные решения задач 1268–1297

Задачи 1268–1297

30 из 30 с разбором

Промежутки монотонности

1268–1278

Задача 1268

y=2+x−x2y=2+x-x^2

Задача 1269

y=3x−x3y=3x-x^3

Задача 1270

y=21+x2y=\frac2{1+x^2}

Задача 1271

y=xx+100,x≥0y=\frac{\sqrt{x}}{x+100},
\qquad x\ge0

Задача 1272

y=x+sin⁡xy=x+\sin x

Задача 1273

y=x+∣sin⁡2x∣y=x+|\sin 2x|

Задача 1274

y=cos⁡πxy=\cos\frac\pi x

Задача 1275

y=x22xy=\frac{x^2}{2^x}

Задача 1276

y=xne−x,n>0,x≥0y=x^ne^{-x}, \qquad n>0, \quad x\ge0

Задача 1277

y=x2−ln⁡x2y=x^2-\ln x^2

Задача 1278

f(x)=x(32+sin⁡ln⁡x),если x>0,f(0)=0f(x)=x\left(\sqrt{\frac32}+\sin\ln x\right), \quad\text{если }x>0, \qquad f(0)=0

Свойства монотонных функций

1279–1287

Задача 1279

Доказать, что при увеличении числа сторон nn периметр pnp_n правильного nn-угольника, вписанного в окружность, возрастает, а периметр PnP_n правильного nn-угольника, описанного около этой окружности, убывает. Пользуясь этим, доказать, что pnp_n и PnP_n имеют общий предел при n→∞n\to\infty.

Задача 1280

Доказать, что функция(1+1x)x\left(1+\frac1x\right)^xвозрастает на интервалах (−∞,−1)(-\infty,-1) и (0,+∞)(0,+\infty).

Задача 1281

Доказать, что целая рациональная функцияP(x)=a0+a1x+⋯+anxn(n≥1, an≠0)P(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n
\qquad(n\ge1,\ a_n\ne0)является монотонной (в строгом смысле!) в интервалах (−∞,−x0)(-\infty,-x_0) и (x0,+∞)(x_0,+\infty), где x0x_0 — достаточно большое положительное число.

Задача 1282

Доказать, что рациональная функцияR(x)=a0+a1x+⋯+anxnb0+b1x+⋯+bmxm(anbm≠0)R(x)=\frac{a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n}{b_0+b_1x+\cdots+b_mx^m}
\qquad(a_nb_m\ne0)отличная от тождественной постоянной, монотонна (в строгом смысле!) в интервалах (−∞,−x0)(-\infty,-x_0) и (x0,+∞)(x_0,+\infty), где x0x_0 — достаточно большое положительное число.

Задача 1283

Обязательно ли производная монотонной функции является монотонной? Рассмотреть пример:f(x)=x+sin⁡xf(x)=x+\sin x

Задача 1284

Доказать, что если φ(x)\varphi(x) — монотонно возрастающая дифференцируемая функция и∣f′(x)∣≤φ′(x)при x≥x0,|f'(x)|\le\varphi'(x)\quad\text{при }x\ge x_0,то∣f(x)−f(x0)∣≤φ(x)−φ(x0)при x≥x0|f(x)-f(x_0)|\le\varphi(x)-\varphi(x_0)
\quad\text{при }x\ge x_0Дать геометрическую интерпретацию этого факта.

Задача 1285

Пусть функция f(x)f(x) непрерывна в промежутке a≤x<+∞a\le x<+\infty и сверх тогоf′(x)>k>0при x>a,f'(x)>k>0\quad\text{при }x>a,где kk — постоянная.

Доказать, что если f(a)<0f(a)<0, то уравнение f(x)=0f(x)=0 имеет один и только один действительный корень в интервале(a,a−f(a)k)\left(a,a-\frac{f(a)}k\right)

Задача 1286

Функция f(x)f(x) называется возрастающей в точке x0x_0, если в некоторой окрестности ∣x−x0∣<δ|x-x_0|<\delta знак приращения функцииΔf(x0)=f(x)−f(x0)\Delta f(x_0)=f(x)-f(x_0)совпадает со знаком приращения аргументаΔx0=x−x0\Delta x_0=x-x_0Доказать, что если функция f(x)f(x) (a<x<b)(a<x<b) возрастает в каждой точке некоторого конечного или бесконечного интервала (a,b)(a,b), то она является возрастающей на этом интервале.

Задача 1287

Показать, что функцияf(x)=x+x2sin⁡2x,если x≠0,f(0)=0f(x)=x+x^2\sin\frac2x,
\quad\text{если }x\ne0,
\qquad f(0)=0возрастает в точке x=0x=0, но не является возрастающей ни в каком
интервале (−ε,ε)(-\varepsilon,\varepsilon), окружающем эту точку, где
ε>0\varepsilon>0 произвольно мало.

Построить эскиз графика функции.

Неравенства с помощью производной

1288–1297

Задача 1288

Доказать теорему, если: 1) функции φ(x)\varphi(x) и ψ(x)\psi(x) nn-кратно дифференцируемы; 2)φ(k)(x0)=ψ(k)(x0)(k=0,1,…,n−1)\varphi^{(k)}(x_0)=\psi^{(k)}(x_0)
\qquad(k=0,1,\ldots,n-1)3)φ(n)(x)>ψ(n)(x)при x>x0\varphi^{(n)}(x)>\psi^{(n)}(x)\quad\text{при }x>x_0то имеет место неравенствоφ(x)>ψ(x)при x>x0\varphi(x)>\psi(x)\quad\text{при }x>x_0

Задача 1289

Доказать следующие неравенства:а) ex>1+xпри x≠0\text{а) }e^x>1+x\quad\text{при }x\ne0б) x−x22<ln⁡(1+x)<xпри x>0\text{б) }x-\frac{x^2}{2}<\ln(1+x)<x\quad\text{при }x>0в) x−x36<sin⁡x<xпри x>0\text{в) }x-\frac{x^3}{6}<\sin x<x\quad\text{при }x>0г) tg⁡x>x+x33при 0<x<π2\text{г) }\operatorname{tg} x>x+\frac{x^3}{3}\quad\text{при }0<x<\frac\pi2д) (xα+yα)1α>(xβ+yβ)1βпри x>0, y>0 и 0<α<β\text{д) }(x^\alpha+y^\alpha)^{\frac1\alpha}
>(x^\beta+y^\beta)^{\frac1\beta}
\quad\text{при }x>0,\ y>0\text{ и }0<\alpha<\betaДать геометрическую интерпретацию неравенств а)–г).

Задача 1290

Доказать неравенство2πx<sin⁡x<xпри 0<x<π2\frac2\pi x<\sin x<x
\quad\text{при }0<x<\frac\pi2

Опирается на задачу 1289

Задача 1291

Доказать, что при x>0x>0 имеет место неравенство(1+1x)x<e<(1+1x)x+1\left(1+\frac1x\right)^x<e<\left(1+\frac1x\right)^{x+1}

Задача 1292

У арифметической и геометрической прогрессий число членов и крайние члены соответственно одинаковы и все члены прогрессий положительны. Доказать, что у арифметической прогрессии сумма членов больше, чем у геометрической.

Задача 1293

Исходя из неравенства∑k=1n(akx+bk)2≥0\sum_{k=1}^{n}(a_kx+b_k)^2\ge0где x,ak,bkx,a_k,b_k (k=1,…,n)(k=1,\ldots,n) вещественны, доказать неравенство Коши(∑k=1nakbk)2≤(∑k=1nak2)(∑k=1nbk2)\left(\sum_{k=1}^{n}a_kb_k\right)^2
\le
\left(\sum_{k=1}^{n}a_k^2\right)
\left(\sum_{k=1}^{n}b_k^2\right)

Задача 1294

Доказать, что среднее арифметическое положительных чисел не больше среднего квадратичного этих же чисел, т. е.1n∑k=1nxk≤1n∑k=1nxk2\frac1n\sum_{k=1}^{n}x_k
\le
\sqrt{\frac1n\sum_{k=1}^{n}x_k^2}

Задача 1295

Доказать, что среднее геометрическое положительных чисел не больше среднего арифметического этих же чисел, т. е.x1x2⋯xnn≤1n(x1+x2+⋯+xn)\sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n}
\le\frac1n(x_1+x_2+\cdots+x_n)Указание. Применить метод математической индукции.

Задача 1296

Средней порядка ss для двух положительных чисел aa и bb называется функция, определяемая равенствомΔs(a,b)=(as+bs2)1s,если s≠0,\Delta_s(a,b)=\left(\frac{a^s+b^s}{2}\right)^{\frac1s},
\quad\text{если }s\ne0,иΔ0(a,b)=lim⁡s→0Δs(a,b)\Delta_0(a,b)=\lim_{s\to0}\Delta_s(a,b)В частности, получаем: при s=−1s=-1 среднее гармоническое; при s=0s=0 среднее геометрическое (доказать!); при s=1s=1 среднее арифметическое; при s=2s=2 среднее квадратичное.

Доказать, что:

1) min⁡(a,b)≤Δs(a,b)≤max⁡(a,b)\min(a,b)\le\Delta_s(a,b)\le\max(a,b);

2) функция Δs(a,b)\Delta_s(a,b) при a≠ba\ne b есть возрастающая функция переменной ss;

3)lim⁡s→−∞Δs(a,b)=min⁡(a,b),lim⁡s→+∞Δs(a,b)=max⁡(a,b)\lim_{s\to-\infty}\Delta_s(a,b)=\min(a,b),
\qquad
\lim_{s\to+\infty}\Delta_s(a,b)=\max(a,b)Указание. Рассмотретьdds[ln⁡Δs(a,b)]\frac d{ds}[\ln\Delta_s(a,b)]

Задача 1297

Доказать неравенства:а) xα−1>α(x−1)при α≥2, x>1\text{а) }x^\alpha-1>\alpha(x-1)
\quad\text{при }\alpha\ge2,\ x>1б) xn−an<x−an,если n>1, x>a>0\text{б) }\sqrt[n]{x}-\sqrt[n]{a}<\sqrt[n]{x-a},
\quad\text{если }n>1,\ x>a>0в) 1+2ln⁡x≤x2при x>0\text{в) }1+2\ln x\le x^2\quad\text{при }x>0