Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 918

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача, подробное решение и ответ.

Задача 918

y=x+1−x2 arccos⁡xy=x+\sqrt{1-x^2}\,\arccos x
Ответ:y′=−xarccos⁡x1−x2,−1<x<1y'=-\frac{x\arccos x}{\sqrt{1-x^2}},
\qquad
-1<x<1Дополнительно y−′(1)=−1y'_-(1)=-1

Решение

Идея

Область определения функции равна [−1,1][-1,1]. Для −1<x<1-1<x<1
применяем правило производной произведения:

Проверка

y′=1−x1−x2arccos⁡x+1−x2(−11−x2)==−xarccos⁡x1−x2\begin{aligned}
y'
=1-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\arccos x
& +\sqrt{1-x^2}\left(-\frac1{\sqrt{1-x^2}}\right)=\\
&=-\frac{x\arccos x}{\sqrt{1-x^2}}
\end{aligned}В концах области определения обычной двусторонней производной нет.
Односторонние производные исследуем по определению. При x→1−x\to1^-
положим x=cos⁡tx=\cos t, где t→0+t\to0^+. Тогдаy(x)−y(1)x−1=cos⁡t+tsin⁡t−1cos⁡t−1==1−tsin⁡t1−cos⁡t⟶−1.\begin{aligned}
\frac{y(x)-y(1)}{x-1}
&=\frac{\cos t+t\sin t-1}{\cos t-1}=\\
&=1-\frac{t\sin t}{1-\cos t}
\longrightarrow-1.
\end{aligned}Следовательно, y−′(1)=−1y'_-(1)=-1. При x→−1+x\to-1^+ положим
x=−cos⁡sx=-\cos s, где s→0+s\to0^+. Поскольку
arccos⁡(−cos⁡s)=π−s\arccos(-\cos s)=\pi-s, получаемy(x)−y(−1)x+1=1−cos⁡s+(π−s)sin⁡s1−cos⁡s==1+(π−s)sin⁡s1−cos⁡s⟶+∞.\begin{aligned}
\frac{y(x)-y(-1)}{x+1}
&=\frac{1-\cos s+(\pi-s)\sin s}{1-\cos s}=\\
&=1+(\pi-s)\frac{\sin s}{1-\cos s}
\longrightarrow+\infty.
\end{aligned}Значит, в точке x=−1x=-1 конечной правой производной нет.
Демидович № 918 — решение и ответ