Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 9

Демидович § 9. Раскрытие неопределённостей

Условия, ответы и подробные решения задач 1318–1375

Задачи 1318–1375

58 из 58 с разбором

Неопределённости 0/0, ∞/∞

1318–1339
Определить значение выражения:

Задача 1318

lim⁡x→0sin⁡axsin⁡bx(b≠0)\lim_{x\to0}\frac{\sin ax}{\sin bx} \qquad (b \ne 0)

Задача 1319

lim⁡x→0ch⁡x−cos⁡xx2\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{ch}x-\cos x}{x^2}

Задача 1320

lim⁡x→0tg⁡x−xx−sin⁡x\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{tg} x-x}{x-\sin x}

Задача 1321

lim⁡x→03tg⁡4x−12tg⁡x3sin⁡4x−12sin⁡x\lim_{x\to0}\frac{3\operatorname{tg}4x-12\operatorname{tg} x}{3\sin4x-12\sin x}

Задача 1322

lim⁡x→π2tg⁡3xtg⁡x\lim_{x\to\frac\pi2}\frac{\operatorname{tg}3x}{\operatorname{tg} x}

Задача 1323

lim⁡x→0xctg⁡x−1x2\lim_{x\to0}\frac{x\operatorname{ctg} x-1}{x^2}

Задача 1324

lim⁡x→π4tg⁡x3−12sin⁡2x−1\lim_{x\to\frac\pi4}\frac{\sqrt[3]{\operatorname{tg} x}-1}{2\sin^2x-1}

Задача 1325

lim⁡x→0x(ex+1)−2(ex−1)x3\lim_{x\to0}\frac{x(e^x+1)-2(e^x-1)}{x^3}

Задача 1326

lim⁡x→01−cos⁡x2x2sin⁡x2\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x^2}{x^2\sin x^2}

Задача 1327

lim⁡x→0arcsin⁡2x−2arcsin⁡xx3\lim_{x\to0}\frac{\arcsin2x-2\arcsin x}{x^3}

Задача 1328

lim⁡x→01xx(a arctg⁡xa−b arctg⁡xb)\lim_{x\to0}\frac1{x\sqrt{x}}
\left(
\sqrt a\,\operatorname{arctg}\sqrt{\frac xa}
-\sqrt b\,\operatorname{arctg}\sqrt{\frac xb}
\right)

Задача 1329

lim⁡x→0ax−asin⁡xx3,a>0\lim_{x\to0}\frac{a^x-a^{\sin x}}{x^3}, \qquad a>0

Задача 1330

lim⁡x→1xx−xln⁡x−x+1\lim_{x\to1}\frac{x^x-x}{\ln x-x+1}

Задача 1331

lim⁡x→0ln⁡(sin⁡ax)ln⁡(sin⁡bx)\lim_{x\to0}\frac{\ln(\sin ax)}{\ln(\sin bx)}

Задача 1332

lim⁡x→0ln⁡(cos⁡ax)ln⁡(cos⁡bx)\lim_{x\to0}\frac{\ln(\cos ax)}{\ln(\cos bx)}

Задача 1333

lim⁡x→0cos⁡(sin⁡x)−cos⁡xx4\lim_{x\to0}\frac{\cos(\sin x)-\cos x}{x^4}

Задача 1334

lim⁡x→01x(1th⁡x−1tg⁡x)\lim_{x\to0}\frac1x \left(\frac1{\operatorname{th}x}-\frac1{\operatorname{tg} x}\right)

Задача 1335

lim⁡x→0Arsh⁡(sh⁡x)−Arsh⁡(sin⁡x)sh⁡x−sin⁡x,где Arsh⁡x=ln⁡(x+1+x2)\lim_{x\to0} \frac{\operatorname{Arsh}(\operatorname{sh}x)-\operatorname{Arsh}(\sin x)}{\operatorname{sh}x-\sin x}, \qquad \text{где } \operatorname{Arsh}x=\ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)

Задача 1336

lim⁡x→+∞ln⁡xxε,ε>0\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x^\varepsilon}, \qquad \varepsilon>0

Задача 1337

lim⁡x→+∞xneax,a>0, n>0\lim_{x\to+\infty}\frac{x^n}{e^{ax}}, \qquad a>0,\ n>0

Задача 1338

lim⁡x→0e−1x2x1000\lim_{x\to0}\frac{e^{-\frac1{x^2}}}{x^{1000}}

Задача 1339

lim⁡x→+∞x2e−0,01x\lim_{x\to+\infty}x^2e^{-0{,}01x}

Произведения и степенные неопределённости

1340–1353

Задача 1340

lim⁡x→1−0ln⁡x⋅ln⁡(1−x)\lim_{x\to1-0}\ln x\cdot\ln(1-x)

Задача 1341

lim⁡x→+0xεln⁡x,ε>0\lim_{x\to+0}x^\varepsilon\ln x, \qquad\varepsilon>0

Задача 1342

lim⁡x→+0xx\lim_{x\to+0}x^x

Опирается на задачу 1341

Задача 1343

lim⁡x→+0xxx−1\lim_{x\to+0}x^{x^x-1}

Задача 1344

lim⁡x→+0(xxx−1)\lim_{x\to+0}\left(x^{x^x}-1\right)

Опирается на задачу 1342

Задача 1345

lim⁡x→+0xk1+ln⁡x\lim_{x\to+0}x^{\frac{k}{1+\ln x}}

Задача 1346

lim⁡x→1x11−x\lim_{x\to1}x^{\frac1{1-x}}

Задача 1347

lim⁡x→1(2−x)tg⁡πx2\lim_{x\to1}(2-x)^{\operatorname{tg}\frac{\pi x}{2}}

Задача 1348

lim⁡x→π4(tg⁡x)tg⁡2x\lim_{x\to\frac\pi4}(\operatorname{tg} x)^{\operatorname{tg}2x}

Задача 1349

lim⁡x→0(ctg⁡x)sin⁡x\lim_{x\to0}(\operatorname{ctg} x)^{\sin x}

Задача 1350

lim⁡x→+0(ln⁡1x)x\lim_{x\to+0}\left(\ln\frac1x\right)^x

Задача 1351

lim⁡x→∞(tg⁡πx2x+1)1x\lim_{x\to\infty} \left(\operatorname{tg}\frac{\pi x}{2x+1}\right)^{\frac1x}

Задача 1352

lim⁡x→a(tg⁡xtg⁡a)ctg⁡(x−a)\lim_{x\to a} \left(\frac{\operatorname{tg} x}{\operatorname{tg} a}\right)^{\operatorname{ctg}(x-a)}

Задача 1353

lim⁡x→0(ax−xln⁡abx−xln⁡b)1x2\lim_{x\to0} \left(\frac{a^x-x\ln a}{b^x-x\ln b}\right)^{\frac1{x^2}}

Разности и смешанные неопределённости

1354–1370

Задача 1354

lim⁡x→0(1x−1ex−1)\lim_{x\to0}\left(\frac1x-\frac1{e^x-1}\right)

Задача 1355

lim⁡x→1(1ln⁡x−1x−1)\lim_{x\to1}\left(\frac1{\ln x}-\frac1{x-1}\right)

Задача 1356

lim⁡x→0(ctg⁡x−1x)\lim_{x\to0}\left(\operatorname{ctg} x-\frac1x\right)

Задача 1357

lim⁡x→0[1ln⁡(x+1+x2)−1ln⁡(1+x)]\lim_{x\to0} \left[ \frac1{\ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)} -\frac1{\ln(1+x)} \right]

Задача 1358

lim⁡x→aax−xax−a,a>0\lim_{x\to a}\frac{a^x-x^a}{x-a}, \qquad a>0

Задача 1359

lim⁡x→0(1+x)1x−ex\lim_{x\to0}\frac{(1+x)^{\frac1x}-e}{x}

Задача 1360

lim⁡x→0(a+x)x−axx2,a>0\lim_{x\to0}\frac{(a+x)^x-a^x}{x^2}, \qquad a>0

Задача 1361

lim⁡x→+∞(2πarctg⁡x)x\lim_{x\to+\infty} \left(\frac2\pi\operatorname{arctg} x\right)^x

Задача 1362

lim⁡x→+∞(th⁡x)x\lim_{x\to+\infty}(\operatorname{th}x)^x

Задача 1363

Найти пределы:а) lim⁡x→0(arcsin⁡xx)1x2;б) lim⁡x→0(sin⁡xx)1x2;\text{а) }\lim_{x\to0}
\left(\frac{\arcsin x}{x}\right)^{\frac1{x^2}};
\qquad
\text{б) }\lim_{x\to0}
\left(\frac{\sin x}{x}\right)^{\frac1{x^2}};в) lim⁡x→0(tg⁡xx)1x2;г) lim⁡x→0(arctg⁡xx)1x2;\text{в) }\lim_{x\to0}
\left(\frac{\operatorname{tg} x}{x}\right)^{\frac1{x^2}};
\qquad
\text{г) }\lim_{x\to0}
\left(\frac{\operatorname{arctg} x}{x}\right)^{\frac1{x^2}};д) lim⁡x→0(Arsh⁡xx)1x2,\text{д) }\lim_{x\to0}
\left(\frac{\operatorname{Arsh}x}{x}\right)^{\frac1{x^2}},гдеArsh⁡x=ln⁡(x+1+x2).\operatorname{Arsh}x=\ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right).
Определить значение выражения:

Задача 1364

lim⁡x→0[(1+x)1xe]1x\lim_{x\to0}
\left[
\frac{(1+x)^{\frac1x}}{e}
\right]^{\frac1x}

Задача 1365

lim⁡x→0(2πarccos⁡x)1x\lim_{x\to0}
\left(\frac2\pi\arccos x\right)^{\frac1x}

Задача 1366

lim⁡x→0(cos⁡xch⁡x)1x2\lim_{x\to0}
\left(\frac{\cos x}{\operatorname{ch}x}\right)^{\frac1{x^2}}

Задача 1367

lim⁡x→0ln⁡ch⁡xch⁡xm−ch⁡xn\lim_{x\to0}\frac{\ln\operatorname{ch} x}{\sqrt[m]{\operatorname{ch} x}-\sqrt[n]{\operatorname{ch} x}}

Задачи 1–50 из 58