Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1

Демидович § 1. Производная явной функции

Условия, ответы и подробные решения задач 821–1033

Задачи 821–1033

213 из 213 с разбором

Производные гиперболических функций

967–971
Найти производную функции:

Задача 971

y=bax+2a2−b2aarctg⁡(a−ba+bth⁡x2),0⩽∣b∣<ay=\frac ba x+\frac{2\sqrt{a^2-b^2}}a
\operatorname{arctg}\left(
\sqrt{\frac{a-b}{a+b}}\operatorname{th}\frac x2
\right),
\qquad 0\leqslant|b|<a

Дифференцирование через промежуточную переменную

972–976

Задача 972

Найти производную функцииy=ln⁡(cos⁡2x+1+cos⁡4x)y=\ln\left(\cos^2x+\sqrt{1+\cos^4x}\right)вводя промежуточную переменную u=cos⁡2xu=\cos^2x.
Найти производную функции, вводя подходящую промежуточную переменную, как в №972:

Задача 973

y=(arccos⁡x)2[ln⁡2(arccos⁡x)−ln⁡(arccos⁡x)+12]y=(\arccos x)^2
\left[\ln^2(\arccos x)-\ln(\arccos x)+\frac12\right]

Задача 974

y=12arctg⁡1+x44+14ln⁡1+x44+11+x44−1y=\frac12\operatorname{arctg}\sqrt[4]{1+x^4}
+\frac14\ln
\frac{\sqrt[4]{1+x^4}+1}{\sqrt[4]{1+x^4}-1}

Задача 975

y=e−x2arcsin⁡(e−x2)1−e−2x2+12ln⁡(1−e−2x2)y=\frac{e^{-x^2}\arcsin(e^{-x^2})}
{\sqrt{1-e^{-2x^2}}}
+\frac12\ln(1-e^{-2x^2})

Задача 976

y=ax1+a2x−1−a2x1+a2xarcctg⁡a−x,a>0y=\frac{a^x}{1+a^{2x}}
-\frac{1-a^{2x}}{1+a^{2x}}
\operatorname{arcctg}a^{-x},
\qquad a>0

Специальные приёмы дифференцирования

977–986

Задача 977

Найти производные и построить графики функций и их производных, если:а) y=∣x∣;б) y=x∣x∣;в) y=ln⁡∣x∣\text{а) }y=|x|;
\qquad
\text{б) }y=x|x|;
\qquad
\text{в) }y=\ln|x|

Задача 978

Найти производные следующих функций:а) y=∣(x−1)2(x+1)3∣;б) y=∣sin⁡3x∣\text{а) }y=|(x-1)^2(x+1)^3|;
\qquad
\text{б) }y=|\sin^3x|в) y=arccos⁡1∣x∣;г) y=[x]sin⁡2πx\text{в) }y=\arccos\frac1{|x|};
\qquad
\text{г) }y=[x]\sin^2\pi x
Найти производную и построить графики функции и её производной:

Задача 979

y={1−x,−∞<x<1(1−x)(2−x),1⩽x⩽2−(2−x),2<x<+∞y=
\begin{cases}
1-x, & -\infty<x<1\\
(1-x)(2-x), & 1\leqslant x\leqslant2\\
-(2-x), & 2<x<+\infty
\end{cases}

Задача 980

y={(x−a)2(x−b)2,a⩽x⩽b0,вне отрезка [a,b]y=
\begin{cases}
(x-a)^2(x-b)^2, & a\leqslant x\leqslant b\\
0, & \text{вне отрезка }[a,b]
\end{cases}

Задача 981

y={x,x<0ln⁡(1+x),x⩾0y=
\begin{cases}
x, & x<0\\
\ln(1+x), & x\geqslant0
\end{cases}

Задача 982

y={arctg⁡x,∣x∣⩽1π4sgn⁡x+x−12,∣x∣>1y=
\begin{cases}
\operatorname{arctg}x, & |x|\leqslant1\\
\dfrac\pi4\operatorname{sgn} x+\dfrac{x-1}{2}, & |x|>1
\end{cases}

Задача 983

y={x2e−x2,∣x∣⩽11e,∣x∣>1y=
\begin{cases}
x^2e^{-x^2}, & |x|\leqslant1\\[1mm]
\dfrac1e, & |x|>1
\end{cases}

Логарифмическая производная

Задача 984

Найти логарифмические производные следующих функций:а) y=x1−x1+x;б) y=x21−x3−x(3+x)23;\text{а) }y=x\sqrt{\frac{1-x}{1+x}};\qquad
\text{б) }y=\frac{x^2}{1-x}\sqrt[3]{\frac{3-x}{(3+x)^2}};в) y=(x−a1)α1(x−a2)α2⋯(x−an)αn;г) y=(x+1+x2)n.\text{в) }y=(x-a_1)^{\alpha_1}(x-a_2)^{\alpha_2}\cdots(x-a_n)^{\alpha_n};
\qquad\text{г) }y=(x+\sqrt{1+x^2})^n.

Специальные приёмы дифференцирования

977–986

Задача 985

Пусть φ(x)\varphi(x) и ψ(x)\psi(x) — дифференцируемые функции.
Найти производную функции yy, если:а) y=φ2(x)+ψ2(x);б) y=arctg⁡φ(x)ψ(x)\text{а) }y=\sqrt{\varphi^2(x)+\psi^2(x)};
\qquad
\text{б) }y=\operatorname{arctg}\frac{\varphi(x)}{\psi(x)}в) y=ψ(x)φ(x)(φ(x)≠0; ψ(x)>0)\text{в) }y=\sqrt[\varphi(x)]{\psi(x)}
\qquad(\varphi(x)\ne0;\ \psi(x)>0)г) y=log⁡φ(x)ψ(x)(φ(x)>0; φ(x)≠1; ψ(x)>0)\text{г) }y=\log_{\varphi(x)}\psi(x)
\qquad(\varphi(x)>0;\ \varphi(x)\ne1;\ \psi(x)>0)

Задача 986

1. Найти y′y', если:а) y=f(x2);б) y=f(sin⁡2x)+f(cos⁡2x)\text{а) }y=f(x^2);
\qquad
\text{б) }y=f(\sin^2x)+f(\cos^2x)в) y=f(ex)⋅ef(x);г) y=f{f[f(x)]}\text{в) }y=f(e^x)\cdot e^{f(x)};
\qquad
\text{г) }y=f\{f[f(x)]\}где f(u)f(u) — дифференцируемая функция.

2. Найти f′(0)f'(0), еслиf(x)=x(x−1)(x−2)⋯(x−1000)f(x)=x(x-1)(x-2)\cdots(x-1000)

Определители, графики и свойства производной

987–993

Задача 987

Доказать правило дифференцирования определителя nn-го порядка:
производная определителя равна сумме nn определителей, в каждом из
которых последовательно дифференцируется одна строка исходного
определителя.

Задача 988

Найти F′(x)F'(x), еслиF(x)=∣x−112−3x3−2−3x+1∣F(x)=
\begin{vmatrix}
x-1&1&2\\
-3&x&3\\
-2&-3&x+1
\end{vmatrix}

Задача 989

Найти F′(x)F'(x), еслиF(x)=∣xx2x312x3x2026x∣F(x)=
\begin{vmatrix}
x&x^2&x^3\\
1&2x&3x^2\\
0&2&6x
\end{vmatrix}

Задача 990

Дан график функции. Приближённо построить график её производной.график к задаче Демидовича № 990

Задача 991

Показать, что функцияf(x)={x2sin⁡1x,x≠00,x=0f(x)=
\begin{cases}
x^2\sin\dfrac1x, & x\ne0\\
0, & x=0
\end{cases}имеет разрывную производную.
При каком условии функция

Задача 992

f(x)={xnsin⁡1x,x≠00,x=0f(x)=
\begin{cases}
x^n\sin\dfrac1x, & x\ne0\\
0, & x=0
\end{cases}а) непрерывна при x=0x=0;

б) дифференцируема при x=0x=0;

в) имеет непрерывную производную при x=0x=0?

Задача 993

f(x)={∣x∣nsin⁡1∣x∣m,x≠00,x=0(m>0)f(x)=
\begin{cases}
|x|^n\sin\dfrac1{|x|^m}, & x\ne0\\
0, & x=0
\end{cases}
\qquad(m>0)имеет:

а) ограниченную производную в окрестности начала координат;

б) неограниченную производную в этой окрестности?

Дифференцируемость и односторонние производные

994–1009

Задача 994

Найти f′(a)f'(a), еслиf(x)=(x−a)φ(x)f(x)=(x-a)\varphi(x)где функция φ(x)\varphi(x) непрерывна при x=ax=a.

Задача 995

Показать, что функцияf(x)=∣x−a∣φ(x)f(x)=|x-a|\varphi(x)где φ(x)\varphi(x) — непрерывная функция и φ(a)≠0\varphi(a)\ne0, не
имеет производной в точке aa.

Чему равны односторонние производные f−′(a)f'_-(a) и f+′(a)f'_+(a)?

Задача 996

Построить пример непрерывной функции, не имеющей производной в данных
точках a1,a2,…,ana_1,a_2,\ldots,a_n.

Задача 997

Показать, что функцияf(x)=x2∣cos⁡πx∣(x≠0),f(0)=0,f(x)=x^2\left|\cos\frac\pi x\right|\quad(x\ne0),
\qquad f(0)=0,имеет точки недифференцируемости в любой окрестности точки x=0x=0, но
дифференцируема в этой точке.

Построить эскиз графика этой функции.

Задача 998

Показать, что функцияf(x)={x2,если x рационально,0,если x иррациональноf(x)=
\begin{cases}
x^2,&\text{если }x\text{ рационально},\\
0,&\text{если }x\text{ иррационально}
\end{cases}имеет производную лишь при x=0x=0.

Задача 999

Исследовать на дифференцируемость следующие функции:а) y=∣(x−1)(x−2)2(x−3)3∣;б) y=∣cos⁡x∣\text{а) }y=|(x-1)(x-2)^2(x-3)^3|;
\qquad
\text{б) }y=|\cos x|в) y=∣π2−x2∣sin⁡2x;г) y=arcsin⁡(cos⁡x)\text{в) }y=|\pi^2-x^2|\sin^2x;
\qquad
\text{г) }y=\arcsin(\cos x)д) y={x−14(x+1)2,∣x∣⩽1,∣x∣−1,∣x∣>1\text{д) }y=
\begin{cases}
\dfrac{x-1}{4}(x+1)^2,&|x|\leqslant1,\\[1mm]
|x|-1,&|x|>1
\end{cases}
Определить левую производную f−′(x)f'_-(x) и правую производную f+′(x)f'_+(x) функции:

Задача 1000

f(x)=∣x∣f(x)=|x|

Задача 1001

f(x)=[x]sin⁡πxf(x)=[x]\sin\pi x

Задача 1002

f(x)=x∣cos⁡πx∣(x≠0),f(0)=0f(x)=x\left|\cos\frac\pi x\right|\quad(x\ne0),
\qquad f(0)=0

Задача 1003

f(x)=sin⁡x2f(x)=\sqrt{\sin x^2}

Задача 1004

f(x)=x1+e1x(x≠0),f(0)=0f(x)=\frac{x}{1+e^{\frac1x}}\quad(x\ne0),
\qquad f(0)=0

Задача 1005

f(x)=1−e−x2f(x)=\sqrt{1-e^{-x^2}}

Задача 1006

f(x)=∣ln⁡∣x∣∣(x≠0)f(x)=|\ln|x||\qquad(x\ne0)

Задача 1007

f(x)=arcsin⁡2x1+x2f(x)=\arcsin\frac{2x}{1+x^2}

Задача 1008

f(x)=(x−2)arctg⁡1x−2(x≠2),f(2)=0f(x)=(x-2)\operatorname{arctg}\frac1{x-2}\quad(x\ne2),
\qquad f(2)=0

Задача 1009

1. Показать, что функцияf(x)=xsin⁡1xпри x≠0,f(0)=0f(x)=x\sin\frac1x\quad\text{при }x\ne0,
\qquad f(0)=0непрерывна при x=0x=0, но не имеет в этой точке ни левой, ни правой
производной.

2. Пусть x0x_0 — точка разрыва 1-го рода функции f(x)f(x). Выраженияf−′(x0)=lim⁡h→0−f(x0+h)−f(x0−)hf'_-(x_0)=\lim_{h\to0^-}
\frac{f(x_0+h)-f(x_0^-)}{h}иf+′(x0)=lim⁡h→0+f(x0+h)−f(x0+)hf'_+(x_0)=\lim_{h\to0^+}
\frac{f(x_0+h)-f(x_0^+)}{h}называются обобщёнными односторонними соответственно левой и
правой производными функции f(x)f(x) в точке x0x_0.

Найти f−′(x0)f'_-(x_0) и f+′(x0)f'_+(x_0) в точках разрыва x0x_0 функции
f(x)f(x), если:а) f(x)=x2+x3x;б) f(x)=arctg⁡1+x1−x\text{а) }f(x)=\frac{\sqrt{x^2+x^3}}{x};
\qquad
\text{б) }f(x)=\operatorname{arctg}\frac{1+x}{1-x}в) f(x)=11+e1x\text{в) }f(x)=\frac1{1+e^{\frac1x}}

Гладкое соединение и дифференцируемость

1010–1017

Задача 1010

Пустьf(x)={x2,x⩽x0,ax+b,x>x0f(x)=
\begin{cases}
x^2,&x\leqslant x_0,\\
ax+b,&x>x_0
\end{cases}Как следует подобрать коэффициенты aa и bb, чтобы функция f(x)f(x)
была непрерывной и дифференцируемой в точке x=x0x=x_0?

Задача 1011

ПустьF(x)={f(x),x⩽x0,ax+b,x>x0F(x)=
\begin{cases}
f(x),&x\leqslant x_0,\\
ax+b,&x>x_0
\end{cases}где функция f(x)f(x) дифференцируема слева при x=x0x=x_0.

При каком выборе коэффициентов aa и bb функция F(x)F(x) будет
непрерывной и дифференцируемой в точке x0x_0?

Задача 1012

На сегменте a≤x≤ba\le x\le b построить сопряжение двух полупрямыхy=k1(x−a)(−∞<x<a)иy=k2(x−b)(b<x<+∞)y=k_1(x-a)\quad(-\infty<x<a)
\qquad\text{и}\qquad
y=k_2(x-b)\quad(b<x<+\infty)с помощью кубической параболыy=A(x−a)(x−b)(x−c)y=A(x-a)(x-b)(x-c)где параметры AA и cc подлежат определению.

Задача 1013

Часть кривойy=m2∣x∣(∣x∣>c, c>0)y=\frac{m^2}{|x|}\qquad(|x|>c,\ c>0)дополнить параболойy=a+bx2(∣x∣⩽c)y=a+bx^2\qquad(|x|\leqslant c)(где aa и bb — неизвестные параметры) так, чтобы получилась
гладкая кривая.

Задача 1014

Можно ли утверждать, что суммаF(x)=f(x)+g(x)F(x)=f(x)+g(x)не имеет производной в точке x=x0x=x_0, если:

а) функция f(x)f(x) имеет производную в точке x0x_0, а функция g(x)g(x)
не имеет производной в этой точке;

б) обе функции f(x)f(x) и g(x)g(x) не имеют производной в точке x0x_0?

Задача 1015

Можно ли утверждать, что произведениеF(x)=f(x)g(x)F(x)=f(x)g(x)не имеет производной в точке x=x0x=x_0, если:

а) функция f(x)f(x) имеет производную в точке x0x_0, а функция g(x)g(x)
не имеет производной в этой точке;

б) обе функции f(x)f(x) и g(x)g(x) не имеют производной в точке x0x_0?

Рассмотреть примеры:а) f(x)=x, g(x)=∣x∣;б) f(x)=∣x∣, g(x)=∣x∣\text{а) }f(x)=x,\ g(x)=|x|;
\qquad
\text{б) }f(x)=|x|,\ g(x)=|x|где x0=0x_0=0.

Задача 1016

Что можно сказать о дифференцируемости функцииF(x)=f(g(x))F(x)=f(g(x))в данной точке x=x0x=x_0, если:

а) функция f(x)f(x) имеет производную в точке x=g(x0)x=g(x_0), а функция
g(x)g(x) не имеет производной в точке x=x0x=x_0;

б) функция f(x)f(x) не имеет производной в точке x=g(x0)x=g(x_0), а функция
g(x)g(x) имеет производную в точке x=x0x=x_0;

в) функция f(x)f(x) не имеет производной в точке x=g(x0)x=g(x_0) и функция
g(x)g(x) не имеет производной в точке x=x0x=x_0?

Рассмотреть примеры:а) f(x)=x2, g(x)=∣x∣;б) f(x)=∣x∣, g(x)=x2\text{а) }f(x)=x^2,\ g(x)=|x|;
\qquad
\text{б) }f(x)=|x|,\ g(x)=x^2в) f(x)=2x+∣x∣,g(x)=23x−13∣x∣,x0=0\text{в) }f(x)=2x+|x|,
\qquad
g(x)=\frac23x-\frac13|x|,
\qquad x_0=0

Задача 1017

В каких точках график функцииy=x+sin⁡x3y=x+\sqrt[3]{\sin x}имеет вертикальные касательные? Построить этот график.

Свойства и применения производной

1018–1028

Задача 1018

Может ли функция f(x)f(x) в точке её разрыва иметь:

а) конечную производную;

б) бесконечную производную?

Рассмотреть пример:f(x)=sgn⁡xf(x)=\operatorname{sgn} x
Если функция f(x)f(x) дифференцируема в ограниченном интервале
(a,b)(a,b) и

Задача 1019

lim⁡x→af(x)=∞\lim_{x\to a}f(x)=\inftyто обязательно ли1) lim⁡x→af′(x)=∞;2) lim⁡x→a∣f′(x)∣=+∞?\text{1) }\lim_{x\to a}f'(x)=\infty;
\qquad
\text{2) }\lim_{x\to a}|f'(x)|=+\infty?Рассмотреть пример:f(x)=1x+cos⁡1x,при x→0f(x)=\frac1x+\cos\frac1x,
\qquad\text{при }x\to0

Задача 1020

lim⁡x→af′(x)=∞\lim_{x\to a}f'(x)=\inftyто обязательно лиlim⁡x→af(x)=∞?\lim_{x\to a}f(x)=\infty?Рассмотреть пример:f(x)=x3,при x→0f(x)=\sqrt[3]{x},
\qquad\text{при }x\to0

Задачи 151–200 из 213