Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 888

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти производную функции

y=\ln\bigl(\ln^2(\ln^3x)\bigr)

Ответ:При

x>1

x\ne e

y'=\frac{2}{x\ln x\ln(\ln x)}

Решение

Идея

Степени у знака логарифма означают степени его значения:

Проверка

\ln^3x=(\ln x)^3

Полностью раскрытая структура исходного выражения имеет вид

y=\ln\left( \left[\ln\bigl((\ln x)^3\bigr)\right]^2 \right)

Сначала внутренний логарифм требует

(\ln x)^3>0

, то есть

x>1

.
На этой области

\ln\bigl((\ln x)^3\bigr)=3\ln(\ln x)

Внешний логарифм определён, когда квадрат этого выражения положителен.
Поэтому нужно дополнительно потребовать

3\ln(\ln x)\ne0

, что
исключает значение

x=e

. Таким образом,

D=(1,e)\cup(e,+\infty)

На этой области функцию можно переписать в виде

y=\ln\bigl(9\ln^2(\ln x)\bigr)

Дифференцируем:

\begin{aligned} y'&=\frac{18\ln(\ln x)}{9\ln^2(\ln x)} \cdot\frac{1}{x\ln x}=\\ &=\frac{2}{x\ln x\ln(\ln x)}\end{aligned}