Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 884

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти производную функции

y=\left(\frac ab\right)^x \left(\frac bx\right)^a \left(\frac xa\right)^b \qquad a>0,\quad b>0

Ответ:

y'=\left(\frac ab\right)^x \left(\frac bx\right)^a \left(\frac xa\right)^b \left(\ln\frac ab+\frac{b-a}{x}\right)

Решение

Идея

Для произвольных положительных параметров рассматриваем

x>0

. Все множители
положительны, поэтому применим логарифмическое дифференцирование:

\begin{aligned} \ln y &=x\ln\frac ab+a\ln\frac bx+b\ln\frac xa=\\ &=x\ln\frac ab+a\ln b-a\ln x +b\ln x-b\ln a\end{aligned}

Дифференцируя обе части, получаем

\frac{y'}y=\ln\frac ab-\frac ax+\frac bx =\ln\frac ab+\frac{b-a}{x}

Остаётся умножить равенство на

y