Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 3

Демидович § 3. Геометрический смысл производной

Условия, ответы и подробные решения задач 1055–1082

Задачи 1055–1082

28 из 28 с разбором

Касательные, нормали, углы и крутизна

1055–1065

Задача 1055

Написать уравнения касательной и нормали к кривойy=(x+1)3−x3y=(x+1)\sqrt[3]{3-x}в точках:а) A(−1,0);б) B(2,3);в) C(3,0).\text{а) }A(-1,0);
\qquad
\text{б) }B(2,3);
\qquad
\text{в) }C(3,0).

Задача 1056

В каких точках кривойy=2+x−x2y=2+x-x^2касательная к ней:

а) параллельна оси OxOx;

б) параллельна биссектрисе первого координатного угла?

Задача 1057

Доказать, что параболаy=a(x−x1)(x−x2)(a≠0, x1<x2)y=a(x-x_1)(x-x_2)
\qquad(a\ne0,\ x_1<x_2)пересекает ось OxOx под углами α\alpha и β\beta0<α<π2,0<β<π2,0<\alpha<\frac\pi2,
\qquad
0<\beta<\frac\pi2,равными между собой.

Задача 1058

На кривойy=2sin⁡x(−π≤x≤π)y=2\sin x
\qquad(-\pi\le x\le\pi)определить те участки её, где «крутизна кривой» (т. е. ∣y′∣|y'|) превышает 11.

Задача 1059

Функцииy=xиy=x+0,01sin⁡1000πxy=x
\qquad\text{и}\qquad
y=x+0{,}01\sin1000\pi xотличаются друг от друга не больше чем на 0,010{,}01. Что можно сказать о
максимальном значении разности производных этих функций?

Построить соответствующие графики.

Задача 1060

Под каким углом криваяy=ln⁡xy=\ln xпересекает ось OxOx?
Под какими углами пересекаются кривые

Задача 1061

y=x2иx=y2?y=x^2
\qquad\text{и}\qquad
x=y^2?

Задача 1062

y=sin⁡xиy=cos⁡x?y=\sin x
\qquad\text{и}\qquad
y=\cos x?

Задача 1063

1. При каком выборе параметра nn криваяy=arctan⁡nx(n>0)y=\arctan nx
\qquad(n>0)пересекает ось OxOx под углом, большим 89∘89^\circ?

2. Показать, что криваяy=∣x∣αy=|x|^\alphaкасается:

а) оси OyOy при 0<α<10<\alpha<1;

б) оси OxOx при 1<α<+∞1<\alpha<+\infty.

3. Показать, что для графика функцииy={∣x∣α,α≠0, x≠0,1,x=0,y=
\begin{cases}
|x|^\alpha,&\alpha\ne0,\ x\ne0,\\
1,&x=0,
\end{cases}предельное положение секущей, проходящей через точку A(0,1)A(0,1), есть ось OyOy.

Задача 1064

Определить угол между левой и правой касательными к кривой:а) y=1−e−a2x2в точке x=0;\text{а) }y=\sqrt{1-e^{-a^2x^2}}\quad\text{в точке }x=0;б) y=arcsin⁡2x1+x2в точке x=1.\text{б) }y=\arcsin\frac{2x}{1+x^2}\quad\text{в точке }x=1.

Задача 1065

Показать, что касательная к логарифмической спиралиr=aemφr=ae^{m\varphi}(aa и mm — постоянные) образует постоянный угол с радиусом-вектором точки касания.

Отрезки касательных и нормалей

1066–1070

Задача 1066

Определив длину подкасательной к кривойy=axny=ax^nдать способ построения касательной к этой кривой.

Задача 1067

Доказать, что у параболыy2=2px:y^2=2px\mathpunct{:}а) подкасательная равна удвоенной абсциссе точки касания;

б) поднормаль постоянна.

Дать способ построения касательной к параболе.

Задача 1068

Доказать, что показательная криваяy=ax(a>0)y=a^x\qquad(a>0)имеет постоянную подкасательную. Дать способ построения касательной
к показательной кривой.

Задача 1069

Определить длину нормали к цепной линииy=ach⁡xay=a\operatorname{ch}\frac xaв любой её точке M(x0,y0)M(x_0,y_0).

Задача 1070

Доказать, что у астроидыx23+y23=a23(a>0)x^{\frac23}+y^{\frac23}=a^{\frac23}\qquad(a>0)длина отрезка касательной, заключённого между осями координат, есть величина постоянная.

Касание и ортогональность кривых

1071–1076

Задача 1071

При каком соотношении между коэффициентами a,ba,b и cc параболаy=ax2+bx+cy=ax^2+bx+cкасается оси OxOx?

Задача 1072

При каком условии кубическая параболаy=x3+px+qy=x^3+px+qкасается оси OxOx?

Задача 1073

При каком значении параметра aa параболаy=ax2y=ax^2касается кривой y=ln⁡xy=\ln x?

Задача 1074

Доказать, что кривыеy=f(x)(f(x)>0),y=f(x)sin⁡ax,y=f(x)\qquad(f(x)>0),
\qquad
y=f(x)\sin ax,где f(x)f(x) — дифференцируемая функция, касаются друг друга в общих точках.

Задача 1075

Показать, что семейства гиперболx2−y2=a,xy=bx^2-y^2=a,
\qquad
xy=bобразуют ортогональную сетку, т. е. кривые этих семейств пересекаются под прямыми углами.

Задача 1076

Доказать, что семейства параболy2=4a(a−x)(a>0)y^2=4a(a-x)\qquad(a>0)иy2=4b(b+x)(b>0)y^2=4b(b+x)\qquad(b>0)образуют ортогональную сетку.

Касательные к параметрическим и неявным кривым

1077–1082
Написать уравнения касательной и нормали к кривой

Задача 1077

x=2t−t2,y=3t−t3x=2t-t^2,
\qquad
y=3t-t^3в точках:а) t=0;б) t=1.\text{а) }t=0;
\qquad
\text{б) }t=1.

Задача 1078

x=2t+t21+t3,y=2t−t21+t3x=\frac{2t+t^2}{1+t^3},
\qquad
y=\frac{2t-t^2}{1+t^3}в точках:а) t=0;б) t=1;в) t=∞.\text{а) }t=0;
\qquad
\text{б) }t=1;
\qquad
\text{в) }t=\infty.

Задача 1079

Написать уравнение касательной к циклоидеx=a(t−sin⁡t),y=a(1−cos⁡t)x=a(t-\sin t),
\qquad
y=a(1-\cos t)в произвольной точке t=t0t=t_0. Дать способ построения касательной к
циклоиде.

Задача 1080

Доказать, что трактрисаx=a(ln⁡tan⁡t2+cos⁡t),y=asin⁡t,(a>0, 0<t<π)x=a\left(\ln\tan\frac t2+\cos t\right),
\qquad
y=a\sin t,
\qquad(a>0,\ 0<t<\pi)имеет отрезок касательной постоянной длины.

Задача 1081

x2100+y264=1,M(6;6,4).\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{64}=1,
\qquad M(6;6{,}4).

Задача 1082

xy+ln⁡y=1,M(1;1).xy+\ln y=1,
\qquad M(1;1).