Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 909

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача, подробное решение и ответ.

y=\frac32\left(1-\sqrt[3]{1+x^2}\right)^2 +3\ln\left(1+\sqrt[3]{1+x^2}\right)

Ответ:

y'=\frac{2x}{1+\sqrt[3]{1+x^2}}, \qquad x\in\mathbb R

Решение

Идея

Поскольку

1+x^2>0

, функция определена при всех

x\in\mathbb R

. Положим

u=\sqrt[3]{1+x^2}

Тогда

u>0

u'=\frac{2x}{3u^2}

Рассматривая

y

как функцию переменной

u

, получаем

\begin{aligned} \frac{dy}{du} &=3(u-1)+\frac3{1+u}=\\ &=3\left(u-1+\frac1{1+u}\right) =\frac{3u^2}{1+u}\end{aligned}

По правилу производной сложной функции

\begin{aligned} y' &=\frac{dy}{du}\,u'=\\ &=\frac{3u^2}{1+u}\cdot\frac{2x}{3u^2} =\frac{2x}{1+u}\end{aligned}

Возвращаясь к переменной

x

, получаем

y'=\frac{2x}{1+\sqrt[3]{1+x^2}}