Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 879

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти производную функции

Задача 879

y=[1−x22sin⁡x−(1+x)22cos⁡x]e−xy=\left[\frac{1-x^2}{2}\sin x
-\frac{(1+x)^2}{2}\cos x\right]e^{-x}
Ответ:y′=x2e−xsin⁡xy'=x^2e^{-x}\sin x

Решение

Обозначим выражение в квадратных скобках черезF(x)=1−x22sin⁡x−(1+x)22cos⁡xF(x)=\frac{1-x^2}{2}\sin x
-\frac{(1+x)^2}{2}\cos xТогдаy=F(x)e−xy′=e−x(F′(x)−F(x))y=F(x)e^{-x}
\qquad
y'=e^{-x}\bigl(F'(x)-F(x)\bigr)Вычислим производную FF по правилу произведения:F′(x)=−xsin⁡x+1−x22cos⁡x−(1+x)cos⁡x+(1+x)22sin⁡x==1+x22sin⁡x−(1+x)22cos⁡x\begin{aligned}
F'(x)
=-x\sin x+&\frac{1-x^2}{2}\cos x
-(1+x)\cos x+\frac{(1+x)^2}{2}\sin x=\\
&=\frac{1+x^2}{2}\sin x
-\frac{(1+x)^2}{2}\cos x
\end{aligned}При вычитании F(x)F(x) слагаемые с cos⁡x\cos x сокращаются и получается
F′(x)−F(x)=x2sin⁡xF'(x)-F(x)=x^2\sin x.
Демидович № 879 — решение и ответ