Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 898

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти производную функции

y=\frac x2\sqrt{x^2+a^2} +\frac{a^2}{2}\ln\left(x+\sqrt{x^2+a^2}\right)

Опирается на задачу 895

Ответ:Во всех внутренних точках области определения

y'=\sqrt{x^2+a^2}

При

a\ne0

формула справедлива для всех

x\in\mathbb R

; при

a=0

исходное выражение определено при

x>0

Решение

Идея

Пусть

a

— фиксированный действительный параметр и

Проверка

s=\sqrt{x^2+a^2}

Если

a\ne0

, то

s>|x|

, поэтому логарифм определён при всех

x\in\mathbb R

. При этом

s'=\frac xs

и тем же вычислением, что в задаче №895, получаем

\left(\ln(x+s)\right)'=\frac1s

Следовательно,

\begin{aligned} y'&=\frac s2+\frac{x^2}{2s}+\frac{a^2}{2s}=\\ &=\frac{s^2+x^2+a^2}{2s} =\frac{2s^2}{2s}=\\ &=s =\sqrt{x^2+a^2}\end{aligned}

Если

a=0

, исходная запись с логарифмом определена только при

x>0

.
На этом промежутке она равна

\dfrac{x^2}{2}

, и та же итоговая формула
даёт

y'=x=\sqrt{x^2}