Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 913

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача, подробное решение и ответ.

Задача 913

y=arcsin⁡x2y=\arcsin\frac x2
Ответ:y′=14−x2,−2<x<2y'=\frac1{\sqrt{4-x^2}},
\qquad
-2<x<2

Решение

Идея

Функция определена при −2⩽x⩽2-2\leqslant x\leqslant2. На внутренности
этого отрезка применяем формулу производной арксинуса:

Проверка

y′=121−x24=14−x2\begin{aligned}
y'
&=\frac{\frac12}{\sqrt{1-\frac{x^2}{4}}}
=\frac1{\sqrt{4-x^2}}
\end{aligned}В концах отрезка формула производной неприменима, поэтому отдельно
исследуем односторонние разностные отношения. При x=2x=2 положим
x=2cos⁡tx=2\cos t, где t→0+t\to0^+. Тогдаy(x)−y(2)x−2=π2−t−π22cos⁡t−2==t2(1−cos⁡t)⟶+∞.\begin{aligned}
\frac{y(x)-y(2)}{x-2}
&=\frac{\frac\pi2-t-\frac\pi2}{2\cos t-2}=\\
&=\frac{t}{2(1-\cos t)}\longrightarrow+\infty.
\end{aligned}При x=−2x=-2 положим x=−2cos⁡tx=-2\cos t, где t→0+t\to0^+. Получаемy(x)−y(−2)x+2=−π2+t+π22(1−cos⁡t)==t2(1−cos⁡t)⟶+∞.\begin{aligned}
\frac{y(x)-y(-2)}{x+2}
&=\frac{-\frac\pi2+t+\frac\pi2}{2(1-\cos t)}=\\
&=\frac{t}{2(1-\cos t)}\longrightarrow+\infty.
\end{aligned}Здесь использован предел
1−cos⁡tt2→12\dfrac{1-\cos t}{t^2}\to\dfrac12. Следовательно, в обеих
граничных точках конечной односторонней производной нет, а обычная
производная существует только при −2<x<2-2<x<2.
Демидович № 913 — решение и ответ