Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 886

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти производную функции

y=\lg^3 x^2

Ответ:При

x\ne0

имеем

\displaystyle y'=\frac{6\lg^2(x^2)}{x\ln 10}

Решение

Идея

По принятому обозначению

\lg^3x^2=\bigl[\lg(x^2)\bigr]^3

. Логарифм определён при

x^2>0

, поэтому

D=\mathbb R\setminus\{0\}

. По формуле

(\lg u)'=\dfrac{u'}{u\ln10}

при

u=x^2

получаем

\bigl(\lg(x^2)\bigr)'=\frac{2x}{x^2\ln 10} =\frac{2}{x\ln 10}

Теперь применим правило производной сложной функции:

y'=3\bigl[\lg(x^2)\bigr]^2\cdot\frac{2}{x\ln 10} =\frac{6\lg^2(x^2)}{x\ln 10}