Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 916

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача, подробное решение и ответ.

y=\frac1{\sqrt2}\operatorname{arcctg}\frac{\sqrt2}{x}

Ответ:

y'=\frac1{x^2+2}, \qquad x\ne0

Решение

Проверка

Используем школьное соглашение

\operatorname{arcctg}u\in(0,\pi)

и формулу

(\operatorname{arcctg}u)'=-\frac{u'}{1+u^2}

Исходная функция определена при

x\ne0

. Для

u=\dfrac{\sqrt2}{x}

имеем

u'=-\frac{\sqrt2}{x^2}

Следовательно,

\begin{aligned} y' &=\frac1{\sqrt2}\cdot \frac{\frac{\sqrt2}{x^2}}{1+\frac2{x^2}} =\frac1{x^2+2}\end{aligned}

Полученная формула имеет смысл и при

x=0

, но исходная функция в
этой точке не определена, поэтому включать её в область производной
нельзя.