Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 890

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти производную функции

y=\frac14\ln\frac{x^2-1}{x^2+1}

Ответ:При

|x|>1

y'=\frac{x}{x^4-1}

Решение

Идея

Поскольку

x^2+1>0

, аргумент логарифма положителен тогда и только
тогда, когда

x^2-1>0

. Следовательно,

D=(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)

Представим логарифм частного как разность логарифмов:

\begin{aligned} y'&=\frac14\left( \frac{2x}{x^2-1}-\frac{2x}{x^2+1} \right) =\frac{x}{x^4-1}\end{aligned}