Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 4

Демидович § 4. Дифференциал функции

Условия, ответы и подробные решения задач 1083–1110

Задачи 1083–1110

28 из 28 с разбором

Приращения и дифференциалы функций

1083–1090

Задача 1083

Для функцииf(x)=x3−2x+1f(x)=x^3-2x+1определить:

1) Δf(1)\Delta f(1);

2) df(1)df(1)

и сравнить их, если:а) Δx=1;б) Δx=0,1;в) Δx=0,01.\text{а) }\Delta x=1;
\qquad
\text{б) }\Delta x=0{,}1;
\qquad
\text{в) }\Delta x=0{,}01.

Задача 1084

Уравнение движения даётся формулойx=5t2,x=5t^2,где tt выражается в секундах и xx — в метрах.

Для момента времени t=2t=2 с определить Δx\Delta x — приращение пути и dxdx — дифференциал пути и сравнить их, если:а) Δt=1 с;б) Δt=0,1 с;в) Δt=0,001 с.\text{а) }\Delta t=1\text{ с};
\qquad
\text{б) }\Delta t=0{,}1\text{ с};
\qquad
\text{в) }\Delta t=0{,}001\text{ с}.

Задача 1085

y=1x.y=\frac1x.

Задача 1086

y=1aarctan⁡xa,a≠0.y=\frac1a\arctan\frac xa,
\qquad a\ne0.

Задача 1087

y=12aln⁡∣x−ax+a∣.y=\frac1{2a}\ln\left|\frac{x-a}{x+a}\right|.

Задача 1088

y=ln⁡∣x+x2+a∣.y=\ln\left|x+\sqrt{x^2+a}\right|.

Задача 1089

y=arcsin⁡xa,a≠0.y=\arcsin\frac xa,
\qquad a\ne0.

Задача 1090

Найти:а) d(xex);б) d(sin⁡x−xcos⁡x);\text{а) }d(xe^x);
\qquad
\text{б) }d(\sin x-x\cos x);в) d(1x3);г) d(ln⁡xx);\text{в) }d\left(\frac1{x^3}\right);
\qquad
\text{г) }d\left(\frac{\ln x}{\sqrt x}\right);д) d(a2+x2);е) d(x1−x2);\text{д) }d\left(\sqrt{a^2+x^2}\right);
\qquad
\text{е) }d\left(\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\right);ж) dln⁡(1−x2);з) d(arccos⁡1∣x∣);\text{ж) }d\ln(1-x^2);
\qquad
\text{з) }d\left(\arccos\frac1{|x|}\right);и) d[sin⁡x2cos⁡2x+12ln⁡∣tan⁡(x2+π4)∣].\text{и) }d\left[\frac{\sin x}{2\cos^2x}
+\frac12\ln\left|\tan\left(\frac x2+\frac\pi4\right)\right|\right].

Дифференциалы составных выражений

1091–1095

Задача 1091

y=uvw.y=uvw.

Задача 1092

y=uv2.y=\frac u{v^2}.

Задача 1093

y=1u2+v2.y=\frac1{\sqrt{u^2+v^2}}.

Задача 1094

y=arctan⁡uv.y=\arctan\frac uv.

Задача 1095

y=ln⁡u2+v2.y=\ln\sqrt{u^2+v^2}.

Дифференциалы и приближённые вычисления

1096–1105

Задача 1096

Найтиа) dd(x3)(x3−2x6−x9);б) dd(x2)(sin⁡xx);\text{а) }\frac{d}{d(x^3)}(x^3-2x^6-x^9);
\qquad
\text{б) }\frac{d}{d(x^2)}\left(\frac{\sin x}{x}\right);в) d(sin⁡x)d(cos⁡x);г) d(tan⁡x)d(cot⁡x);\text{в) }\frac{d(\sin x)}{d(\cos x)};
\qquad
\text{г) }\frac{d(\tan x)}{d(\cot x)};д) d(arcsin⁡x)d(arccos⁡x).\text{д) }\frac{d(\arcsin x)}{d(\arccos x)}.

Задача 1097

В круговом секторе радиус R=100R=100 см и центральный угол α=60∘\alpha=60^\circ. Насколько изменится площадь этого сектора, если:

а) радиус его RR увеличить на 11 см;

б) угол α\alpha уменьшить на 30′30'?

Дать точное и приближённое решения.

Задача 1098

Период колебания маятника определяется по формулеT=2πlg,T=2\pi\sqrt{\frac lg},где ll — длина маятника и g=9,8g=9{,}8 м/с2^2 — ускорение свободного падения.

Насколько нужно изменить длину маятника l=0,2l=0{,}2 м, чтобы период TT увеличился на 0,050{,}05 с?

Задача 1099

1,023.\sqrt[3]{1{,}02}.

Задача 1100

sin⁡29∘.\sin29^\circ.

Задача 1101

cos⁡151∘.\cos151^\circ.

Задача 1102

arctan⁡1,05.\arctan1{,}05.

Задача 1103

lg⁡11.\lg11.

Задача 1104

1. Доказать приближённую формулуa2+x≈a+x2a(a>0),\sqrt{a^2+x}\approx a+\frac{x}{2a}
\qquad(a>0),где ∣x∣≪a|x|\ll a (соотношение A≪BA\ll B между положительными AA и BB означает, что AA весьма мало по сравнению с BB).

С помощью этой формулы приближённо вычислить:а) 5;б) 34;в) 120\text{а) }\sqrt5;
\qquad
\text{б) }\sqrt{34};
\qquad
\text{в) }\sqrt{120}и сравнить с табличными данными.

2. Доказать формулуa2+x=a+x2a−r(a>0, x>0),\sqrt{a^2+x}=a+\frac{x}{2a}-r
\qquad(a>0,\ x>0),где0<r<x28a3.0<r<\frac{x^2}{8a^3}.

Задача 1105

Показать приближённую формулуan+xn≈a+xnan−1(a>0),\sqrt[n]{a^n+x}\approx a+\frac{x}{na^{n-1}}
\qquad(a>0),где ∣x∣≪a|x|\ll a.

С помощью этой формулы приближённо вычислить:а) 93;б) 804;в) 1007;г) 100010.\text{а) }\sqrt[3]{9};
\qquad
\text{б) }\sqrt[4]{80};
\qquad
\text{в) }\sqrt[7]{100};
\qquad
\text{г) }\sqrt[10]{1000}.

Оценка погрешностей с помощью дифференциала

1106–1110

Задача 1106

Сторона квадрата x=2,4x=2{,}4 м ±0,05\pm0{,}05 м. С какими предельной абсолютной и относительной погрешностями можно вычислить площадь этого квадрата?

Задача 1107

С какой относительной погрешностью допустимо измерить радиус RR шара, чтобы объём его можно было определить с точностью до 1%1\%?

Задача 1108

Для определения ускорения свободного падения с помощью колебания маятника пользуются формулойg=4π2lT2,g=\frac{4\pi^2l}{T^2},где ll — длина маятника, TT — период его колебаний. Как отразится на значении gg относительная погрешность δ\delta при измерении:

а) длины ll;

б) периода TT?

Задача 1109

Определить абсолютную погрешность десятичного логарифма числа xx (x>0)(x>0), если относительная погрешность этого числа равна δ\delta.

Задача 1110

Доказать, что углы по логарифмической таблице тангенсов определяются точнее, чем по логарифмической таблице синусов с тем же самым числом десятичных знаков.