Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 880

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти производную функции

Задача 880

y=ex(1+ctg⁡x2)y=e^x\left(1+\operatorname{ctg}\frac x2\right)
Ответ:y′=ex(1+ctg⁡x2−12sin⁡2(x/2))\displaystyle y'=e^x\left(1+\operatorname{ctg}\frac x2
-\frac1{2\sin^2(x/2)}\right)

Решение

Идея

Используем правило произведения и равенство
(ctg⁡x2)′=−1/(2sin⁡2(x/2))\left(\operatorname{ctg}\frac x2\right)'=-1/(2\sin^2(x/2)). Тогда
y′=ex(1+ctg⁡x2)−ex2sin⁡2(x/2)==ex(1+ctg⁡x2−12sin⁡2(x/2))\begin{aligned}
y'&=e^x\left(1+\operatorname{ctg}\frac x2\right)
-\frac{e^x}{2\sin^2(x/2)}=\\
&=e^x\left(1+\operatorname{ctg}\frac x2
-\frac1{2\sin^2(x/2)}\right)
\end{aligned}Функция определена при x≠2πkx\ne2\pi k, k∈Zk\in\mathbb Z.