Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 10

Демидович § 10. Формула Тейлора

Условия, ответы и подробные решения задач 1376–1413

Задачи 1376–1413

38 из 38 с разбором

Разложения Тейлора и Маклорена

1376–1392

Задача 1376

МногочленP(x)=1+3x+5x2−2x3P(x)=1+3x+5x^2-2x^3расположить по целым неотрицательным степеням двучлена x+1x+1.

Задача 1377

Написать разложение по целым неотрицательным степеням переменной xx до члена с x4x^4 включительно функции:f(x)=1+x+x21−x+x2.f(x)=\frac{1+x+x^2}{1-x+x^2}.Чему равно f(4)(0)f^{(4)}(0)?
Написать разложение по целым неотрицательным степеням переменной xx до члена с x2x^2 включительно функции:

Задача 1378

f(x)=(1+x)100(1−2x)40(1+2x)60.f(x) = \frac{(1+x)^{100}}{(1-2x)^{40}(1+2x)^{60}}.

Задача 1379

f(x)=am+xn(a>0).f(x) = \sqrt[n]{a^m+x}\qquad(a>0).

Задача 1380

f(x)=1−2x+x3−1−3x+x23.f(x) = \sqrt{1-2x+x^3}-\sqrt[3]{1-3x+x^2}.

Задача 1381

Написать разложение по целым неотрицательным степеням переменной xx до члена с x5x^5 включительно функции:f(x)=e2x−x2.f(x) = e^{2x-x^2}.

Задача 1382

Написать разложение по целым неотрицательным степеням переменной xx до члена с x4x^4 включительно функции:f(x)=xex−1.f(x) = \frac{x}{e^x-1}.

Задача 1383

Написать разложение по целым неотрицательным степеням переменной xx до члена с x13x^{13} включительно функции:f(x)=sin⁡x33f(x) = \sqrt[3]{\sin x^3}

Задача 1384

Написать разложение по целым неотрицательным степеням переменной xx до члена с x6x^6 включительно функции:f(x)=ln⁡cos⁡xf(x) = \ln\cos x

Задача 1385

Написать разложение по целым неотрицательным степеням переменной xx до члена с x3x^3 включительно функции:f(x)=sin⁡(sin⁡x)f(x) = \sin(\sin x)

Задача 1386

Написать разложение по целым неотрицательным степеням переменной xx до члена с x5x^5 включительно функции:f(x)=tg⁡xf(x) = \operatorname{tg} x

Задача 1387

Написать разложение по целым неотрицательным степеням переменной xx до члена с x6x^6 включительно функции:f(x)=ln⁡sin⁡xxf(x) = \ln\frac{\sin x}{x}

Задача 1388

Найти три члена разложения функцииf(x)=xf(x)=\sqrt{x}по целым неотрицательным степеням разности x−1x-1.

Задача 1389

Функциюf(x)=xx−1f(x)=x^x-1разложить по целым неотрицательным степеням бинома x−1x-1 до члена с (x−1)3(x-1)^3.

Задача 1390

Функциюy=ach⁡xa(a>0)y=a\operatorname{ch}\frac{x}{a}\qquad(a>0)в окрестности точки x=0x=0 приближённо заменить параболой 2-го порядка.

Задача 1391

Функциюf(x)=1+x2−x(x>0)f(x)=\sqrt{1+x^2}-x\qquad(x>0)разложить по целым неотрицательным степеням дроби 1x\frac1x до члена с 1x3\frac1{x^3}.

Задача 1392

Найти разложение функцииf(h)=ln⁡(x+h)(x>0)f(h)=\ln(x+h)\qquad(x>0)по целым неотрицательным степеням приращения hh до члена с hnh^n (nn — натуральное число).

Погрешности и приближённые вычисления

1393–1397

Задача 1393

1. Пустьf(x+h)=f(x)+hf′(x)+⋯+hnn!f(n)(x+θh),0<θ<1,f(x+h)=f(x)+hf'(x)+\cdots+\frac{h^n}{n!}f^{(n)}(x+\theta h),\qquad0<\theta<1,причём f(n+1)(x)≠0f^{(n+1)}(x)\ne0. Доказать, что lim⁡h→0θ=1/(n+1)\lim_{h\to0}\theta=1/(n+1).

2. Пусть при x→0x\to0 имеем f(x)=1+kx+o(x)f(x)=1+kx+o(x). Доказать, чтоlim⁡x→0[f(x)]1/x=ek.\lim_{x\to0}[f(x)]^{1/x}=e^k.3. Пусть f∈C(2)[0,1]f\in C^{(2)}[0,1], f(0)=f(1)=0f(0)=f(1)=0, причём ∣f′′(x)∣≤A|f''(x)|\le A при x∈(0,1)x\in(0,1). Доказать, что ∣f′(x)∣≤A/2|f'(x)|\le A/2 при 0≤x≤10\le x\le1.

4. Пусть ff — дважды дифференцируемая на всей вещественной прямой функция иMk=sup⁡x∈R∣f(k)(x)∣<+∞,k=0,1,2,M_k=\sup_{x\in\mathbb R}|f^{(k)}(x)|<+\infty,\qquad k=0,1,2,где f(0)=ff^{(0)}=f. Доказать неравенство M12≤2M0M2M_1^2\le2M_0M_2.

Задача 1394

Оценить абсолютную погрешность приближённых формул:а) ex≈1+x+x22!+⋯+xnn!при 0≤x≤1;\text{а) }e^x\approx1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!} \quad\text{при }0\le x\le1;б) sin⁡x≈x−x36при ∣x∣≤12;\text{б) }\sin x\approx x-\frac{x^3}{6} \quad\text{при }|x|\le\frac12;в) tg⁡x≈x+x33при ∣x∣≤0,1;\text{в) }\operatorname{tg} x\approx x+\frac{x^3}{3} \quad\text{при }|x|\le0{,}1;г) 1+x≈1+x2−x28при 0≤x≤1.\text{г) }\sqrt{1+x}\approx1+\frac x2-\frac{x^2}{8} \quad\text{при }0\le x\le1.

Задача 1395

1. Для каких xx справедлива с точностью до 0,00010{,}0001 приближённая формула cos⁡x≈1−x22\cos x\approx1-\frac{x^2}{2}?

2. Доказать формулуan+xn=a+xnan−1−r(n≥2, a>0, x>0),0<r<n−12n2 x2a2n−1.\sqrt[n]{a^n+x}=a+\frac{x}{na^{n-1}}-r \quad (n\ge2,\ a>0,\ x>0), \qquad 0<r<\frac{n-1}{2n^2}\,\frac{x^2}{a^{2n-1}}.

Задача 1396

С помощью формулы Тейлора приближённо вычислить:а) 303;б) 2503;в) 400012;г) e;д) sin⁡18∘;е) ln⁡1,2;\text{а) }\sqrt[3]{30};\quad \text{б) }\sqrt[3]{250};\quad \text{в) }\sqrt[12]{4000};\quad \text{г) }\sqrt e;\quad \text{д) }\sin18^\circ;\quad \text{е) }\ln1{,}2;ж) arctg⁡0,8;з) arcsin⁡0,45;и) (1,1)1,2,\text{ж) }\operatorname{arctg}0{,}8;\quad \text{з) }\arcsin0{,}45;\quad \text{и) }(1{,}1)^{1{,}2},и оценить погрешность.

Задача 1397

Вычислить:а) e с точностью до 10−9;б) sin⁡1∘ с точностью до 10−8;\text{а) }e\text{ с точностью до }10^{-9}; \qquad \text{б) }\sin1^\circ\text{ с точностью до }10^{-8};в) cos⁡9∘ с точностью до 10−5;г) 5 с точностью до 10−4;\text{в) }\cos9^\circ\text{ с точностью до }10^{-5}; \qquad \text{г) }\sqrt5\text{ с точностью до }10^{-4};д) lg⁡11 с точностью до 10−5.\text{д) }\lg11\text{ с точностью до }10^{-5}.

Вычисление пределов с помощью разложений

1398–1406
Используя разложения Тейлора, найти предел:

Задача 1398

lim⁡x→0cos⁡x−e−x22x4.\lim_{x\to0}\frac{\cos x-e^{-\frac{x^2}{2}}}{x^4}.

Задача 1399

lim⁡x→0exsin⁡x−x(1+x)x3.\lim_{x\to0}\frac{e^x\sin x-x(1+x)}{x^3}.

Задача 1400

lim⁡x→+∞x32(x+1+x−1−2x).\lim_{x\to+\infty}x^{\frac32}\left(\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}-2\sqrt x\right).

Задача 1401

lim⁡x→+∞(x6+x56−x6−x56).\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt[6]{x^6+x^5}-\sqrt[6]{x^6-x^5}\right).

Задача 1402

lim⁡x→+∞[(x3−x2+x2)e1x−x6+1].\lim_{x\to+\infty}\left[
\left(x^3-x^2+\frac x2\right)e^{\frac1x}-\sqrt{x^6+1}
\right].

Задача 1403

lim⁡x→0ax+a−x−2x2(a>0)\lim_{x\to0}\frac{a^x+a^{-x}-2}{x^2}\qquad(a>0)

Задача 1404

lim⁡x→∞[x−x2ln⁡(1+1x)]\lim_{x\to\infty}\left[x-x^2\ln\left(1+\frac1x\right)\right]

Задача 1405

lim⁡x→0(1x−1sin⁡x)\lim_{x\to0}\left(\frac1x-\frac1{\sin x}\right)

Задача 1406

Найти пределы:а) lim⁡x→01x(1x−ctg⁡x);б) lim⁡x→0sin⁡(sin⁡x)−x1−x23x5;\text{а) }\lim_{x\to0}\frac1x\left(\frac1x-\operatorname{ctg} x\right);
\qquad
\text{б) }\lim_{x\to0}\frac{\sin(\sin x)-x\sqrt[3]{1-x^2}}{x^5};в) lim⁡x→01−(cos⁡x)sin⁡xx3;г) lim⁡x→0sh⁡(tg⁡x)−xx3.\text{в) }\lim_{x\to0}\frac{1-(\cos x)^{\sin x}}{x^3};
\qquad
\text{г) }\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sh}(\operatorname{tg} x)-x}{x^3}.

Асимптотические и прикладные приближения

1407–1413
Для бесконечно малой при x→0x\to0 величины yy определить главный член вида CxnCx^n, если:

Задача 1407

y=tg⁡(sin⁡x)−sin⁡(tg⁡x).y=\operatorname{tg}(\sin x)-\sin(\operatorname{tg} x).

Задача 1408

y=(1+x)x−1.y=(1+x)^x-1.

Задача 1409

y=1−(1+x)1xe.y=1-\frac{(1+x)^{\frac1x}}{e}.

Задача 1410

1. При каком подборе коэффициентов aa и bb величина x−(a+bcos⁡x)sin⁡xx-(a+b\cos x)\sin x будет бесконечно малой 5-го порядка относительно xx?
2. Подобрать коэффициенты AA и BB так, чтобы при x→0x\to0 имело место асимптотическое равенство ctg⁡x=1+Ax2x+Bx3+O(x5)\operatorname{ctg} x=\frac{1+Ax^2}{x+Bx^3}+O(x^5).
3. При каких коэффициентах A,B,C,DA,B,C,D справедлива при x→0x\to0 асимптотическая формула ex=1+Ax+Bx21+Cx+Dx2+O(x5)e^x=\frac{1+Ax+Bx^2}{1+Cx+Dx^2}+O(x^5)?

Задача 1411

Считая ∣x∣|x| малой величиной, вывести простые приближённые формулы для следующих выражений:а) 1R2−1(R+x)2(R>0);\text{а) }\frac1{R^2}-\frac1{(R+x)^2}\qquad(R>0);б) 1+x1−x3−1−x1+x3;\text{б) }\sqrt[3]{\frac{1+x}{1-x}}-\sqrt[3]{\frac{1-x}{1+x}};в) Ax[1−(1+x100)−n];г) ln⁡2ln⁡(1+x100).\text{в) }\frac A x\left[1-\left(1+\frac{x}{100}\right)^{-n}\right];
\qquad
\text{г) }\frac{\ln2}{\ln\left(1+\frac{x}{100}\right)}.

Задача 1412

Считая xx малым по модулю, вывести приближённую формулу видаx=αsin⁡x+βtg⁡xx=\alpha\sin x+\beta\operatorname{tg} xс точностью до члена с x5x^5. Применить эту формулу для приближённого спрямления дуг малой угловой величины.

Задача 1413

Оценить относительную погрешность следующего правила Чебышева: круговая дуга приближённо равна сумме боковых сторон равнобедренного треугольника, построенного на хорде этой дуги и имеющего высотой43\sqrt{\frac43}её стрелки.