Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 900

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти производную функции

Задача 900

y=2+3x2x41−x2+3ln⁡1+1−x2xy=\frac{2+3x^2}{x^4}\sqrt{1-x^2}
+3\ln\frac{1+\sqrt{1-x^2}}x
Ответ:При 0<x<10<x<1y′=−8x51−x2y'=-\frac8{x^5\sqrt{1-x^2}}В точке x=1x=1 конечной производной нет.

Решение

Идея

Корень требует ∣x∣⩽1|x|\leqslant1, знаменатель исключает x=0x=0, а
аргумент логарифма положителен только при x>0x>0. Поэтому
D=(0,1]D=(0,1]На интервале 0<x<10<x<1 положим
s=1−x2s=\sqrt{1-x^2} и L=ln⁡1+sxL=\ln\dfrac{1+s}{x}. Тогда
s′=−xss'=-\dfrac xs. Для производной логарифма используем равенство
x1+s=1−sx\dfrac{x}{1+s}=\dfrac{1-s}{x}, которое следует из
x2=1−s2x^2=1-s^2. ПоэтомуL′=−xs(1+s)−1x==−1−sxs−1x=−1xs\begin{aligned}
L'&=-\frac{x}{s(1+s)}-\frac1x=\\
&=-\frac{1-s}{xs}-\frac1x
=-\frac1{xs}
\end{aligned}Первое слагаемое функции равно
(2x4+3x2)s\left(\dfrac2{x^4}+\dfrac3{x^2}\right)s. После его
дифференцирования и прибавления 3L′3L' получаемy′=−(8x5+6x3)s−2x−3+3x−1s−3xs==−(8+6x2)(1−x2)+2x2+6x4x5s==−8x5s=−8x51−x2\begin{aligned}
y'&=-\left(\frac8{x^5}+\frac6{x^3}\right)s
-\frac{2x^{-3}+3x^{-1}}s-\frac3{xs}=\\
&=-\frac{(8+6x^2)(1-x^2)+2x^2+6x^4}
{x^5s}=\\
&=-\frac8{x^5s}
=-\frac8{x^5\sqrt{1-x^2}}
\end{aligned}В точке x=1x=1 функция определена и равна нулю. Для любого x∈(0,1)x\in(0,1)
по теореме Лагранжа существует точка ξ∈(x,1)\xi\in(x,1), для которойy(x)−y(1)x−1=y′(ξ)\frac{y(x)-y(1)}{x-1}=y'(\xi)Из x<ξ<1x<\xi<1 и x→1−x\to1^- по теореме о зажатой функции следует
ξ→1−\xi\to1^-. Поэтому y′(ξ)→−∞y'(\xi)\to-\infty, и конечной левой
производной в точке x=1x=1 нет.
Демидович № 900 — решение и ответ