Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 882

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти производную функции

y=e^{ax}\frac{a\sin bx-b\cos bx}{\sqrt{a^2+b^2}}

Ответ:

\displaystyle y'=\sqrt{a^2+b^2}\,e^{ax}\sin bx

Решение

Идея

Параметры

a

b

считаем постоянными, причём

a^2+b^2>0

.
Постоянный знаменатель вынесем за знак производной:

\begin{aligned} y'&=\frac{e^{ax}}{\sqrt{a^2+b^2}} \left[a(a\sin bx-b\cos bx) +ab\cos bx+b^2\sin bx\right]=\\ &=\sqrt{a^2+b^2}\,e^{ax}\sin bx\end{aligned}