Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 891

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти производную функции

y=\frac1{4(1+x^4)} +\frac14\ln\frac{x^4}{1+x^4}

Ответ:При

x\ne0

y'=\frac{1}{x(1+x^4)^2}

Решение

Идея

Аргумент логарифма положителен при

x\ne0

, поэтому

D=\mathbb R\setminus\{0\}

Дифференцируем оба слагаемых:

\begin{aligned} y'&=-\frac{x^3}{(1+x^4)^2} +\frac14\left(\frac4x-\frac{4x^3}{1+x^4}\right)=\\ &=\frac1x-\frac{x^3}{1+x^4} -\frac{x^3}{(1+x^4)^2}=\\ &=\frac{(1+x^4)^2-x^4(1+x^4)-x^4} {x(1+x^4)^2}=\\ &=\frac{1}{x(1+x^4)^2}\end{aligned}