Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 892

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти производную функции

y=\frac1{2\sqrt6} \ln\frac{x\sqrt3-\sqrt2}{x\sqrt3+\sqrt2}

Ответ:При

3x^2>2

имеем

\displaystyle y'=\frac{1}{3x^2-2}

Решение

Идея

Дробь под знаком логарифма положительна, когда её числитель и
знаменатель имеют одинаковые знаки. Поэтому

D=\left(-\infty,-\sqrt{\frac23}\right) \cup\left(\sqrt{\frac23},+\infty\right)

На каждом промежутке области определения числитель и знаменатель
дроби имеют одинаковые знаки, поэтому

\ln\frac{x\sqrt3-\sqrt2}{x\sqrt3+\sqrt2} =\ln\left|x\sqrt3-\sqrt2\right| -\ln\left|x\sqrt3+\sqrt2\right|

Используем формулу

(\ln|u|)'=\dfrac{u'}u

u\ne0

. Тогда

\begin{aligned} y'&=\frac1{2\sqrt6}\left( \frac{\sqrt3}{x\sqrt3-\sqrt2} -\frac{\sqrt3}{x\sqrt3+\sqrt2} \right)=\\ &=\frac1{2\sqrt6}\cdot \frac{2\sqrt6}{3x^2-2} =\frac{1}{3x^2-2}\end{aligned}