Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 903

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти производную функции

Задача 903

y=12ctg⁡2x+ln⁡sin⁡xy=\frac12\operatorname{ctg}^2x+\ln\sin x
Ответ:При 2πk<x<(2k+1)π2\pi k<x<(2k+1)\pi, k∈Zk\in\mathbb Zy′=−ctg⁡3xy'=-\operatorname{ctg}^3x

Решение

Идея

Логарифм требует sin⁡x>0\sin x>0, поэтому область определения состоит из
промежутков

Проверка

2πk<x<(2k+1)πk∈Z2\pi k<x<(2k+1)\pi
\qquad
k\in\mathbb ZНа этой области (ctg⁡x)′=−1sin⁡2x(\operatorname{ctg} x)'=-\dfrac1{\sin^2x}. Следовательно,y′=−ctg⁡xsin⁡2x+ctg⁡x=ctg⁡x(1−1sin⁡2x)==ctg⁡x⋅sin⁡2x−1sin⁡2x=−ctg⁡x⋅cos⁡2xsin⁡2x==−ctg⁡x⋅ctg⁡2x=−ctg⁡3x\begin{aligned}
y'&=-\frac{\operatorname{ctg} x}{\sin^2x}+\operatorname{ctg} x
=\operatorname{ctg} x\left(1-\frac1{\sin^2x}\right)=\\
&=\operatorname{ctg} x\cdot\frac{\sin^2x-1}{\sin^2x}
=-\operatorname{ctg} x\cdot\frac{\cos^2x}{\sin^2x}=\\
&=-\operatorname{ctg} x\cdot\operatorname{ctg}^2x
=-\operatorname{ctg}^3x
\end{aligned}
Демидович № 903 — решение и ответ