Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 877

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти производную функции

Задача 877

y=2tg⁡1xy=2^{\operatorname{tg}\frac1x}
Ответ:y′=−2tg⁡(1/x)ln⁡2x2cos⁡2(1/x)y'=-\frac{2^{\operatorname{tg}(1/x)}\ln2}{x^2\cos^2(1/x)}

Решение

Идея

Используем правило производной показательной функции и последовательно
дифференцируем показатель:
y′=2tg⁡(1/x)ln⁡2⋅1cos⁡2(1/x)(−1x2)==−2tg⁡(1/x)ln⁡2x2cos⁡2(1/x)\begin{aligned}
y'&=2^{\operatorname{tg}(1/x)}\ln2
\cdot\frac1{\cos^2(1/x)}
\left(-\frac1{x^2}\right)=\\
&=-\frac{2^{\operatorname{tg}(1/x)}\ln2}{x^2\cos^2(1/x)}
\end{aligned}Исходная функция и её производная рассматриваются при x≠0x\ne0 и
cos⁡(1/x)≠0\cos(1/x)\ne0.
Демидович № 877 — решение и ответ