Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 11

Демидович § 11. Экстремум функции. Наибольшее и наименьшее значения функции

Условия, ответы и подробные решения задач 1414–1470

Задачи 1414–1470

57 из 57 с разбором

Локальные экстремумы

1414–1428
Исследовать на экстремум функцию:

Задача 1414

y=2+x−x2.y=2+x-x^2.

Задача 1415

y=(x−1)3.y=(x-1)^3.

Задача 1416

y=(x−1)4.y=(x-1)^4.

Задача 1417

y=xm(1−x)n,y=x^m(1-x)^n,где mm и nn — целые положительные числа.

Задача 1418

y=cos⁡x+ch⁡x.y=\cos x+\operatorname{ch} x.

Задача 1419

y=(x+1)10e−x.y=(x+1)^{10}e^{-x}.

Задача 1420

y=(1+x+x22!+⋯+xnn!)e−xy=\left(1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}\right)e^{-x}где nn — натуральное число.

Задача 1421

y=∣x∣y=|x|

Задача 1422

y=x13(1−x)23y=x^{\frac13}(1-x)^{\frac23}

Задача 1423

Исследовать на экстремум в точке x=x0x=x_0 функциюf(x)=(x−x0)nφ(x)f(x)=(x-x_0)^n\varphi(x)где nn — натуральное число, функция φ(x)\varphi(x) непрерывна при x=x0x=x_0 и φ(x0)≠0\varphi(x_0)\ne0.

Задача 1424

Пустьf(x)=P(x)Q(x)f′(x)=P1(x)Q2(x)f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)} \qquad f'(x)=\frac{P_1(x)}{Q^2(x)}и x0x_0 — стационарная точка функции f(x)f(x), т. е. P1(x0)=0P_1(x_0)=0, Q(x0)≠0Q(x_0)\ne0. Доказать, чтоsgn⁡f′′(x0)=sgn⁡P1′(x0)\operatorname{sgn}f''(x_0)=\operatorname{sgn}P_1'(x_0)

Задача 1425

Можно ли утверждать, что если функция f(x)f(x) в точке x0x_0 имеет максимум, то в некоторой достаточно малой окрестности этой точки слева от точки x0x_0 функция f(x)f(x) возрастает, а справа от неё убывает?

Рассмотреть примерf(x)=2−x2(2+sin⁡1x)x≠0f(0)=2f(x)=2-x^2\left(2+\sin\frac1x\right) \quad x\ne0 \qquad f(0)=2

Задача 1426

Доказать, что функцияf(x)=e−1x2x≠0f(0)=0f(x)=e^{-\frac1{x^2}}
\quad x\ne0
\qquad
f(0)=0имеет в точке x=0x=0 минимум, а функцияg(x)=xe−1x2x≠0g(0)=0g(x)=xe^{-\frac1{x^2}}
\quad x\ne0
\qquad
g(0)=0не имеет в точке x=0x=0 экстремума, хотяf(n)(0)=0g(n)(0)=0n=1,2,…f^{(n)}(0)=0
\qquad
g^{(n)}(0)=0
\quad n=1,2,\ldotsПостроить графики этих функций.

Задача 1427

Исследовать на экстремум функции:а) f(x)=e−1∣x∣(2+sin⁡(1x))x≠0f(0)=0\text{а) }\quad
f(x)=e^{-\frac1{|x|}}\left(\sqrt2+\sin\left(\frac1x\right)\right)
\quad x\ne0
\qquad
f(0)=0б) f(x)=e−1∣x∣(2+cos⁡(1x))x≠0f(0)=0\text{б) }\quad
f(x)=e^{-\frac1{|x|}}\left(\sqrt2+\cos\left(\frac1x\right)\right)
\quad x\ne0
\qquad
f(0)=0Построить графики этих функций.

Задача 1428

Исследовать на экстремум в точке x=0x=0 функциюf(x)=∣x∣(2+cos⁡(1x))x≠0f(0)=0f(x)=|x|\left(2+\cos\left(\frac1x\right)\right)
\quad x\ne0
\qquad
f(0)=0Построить график этой функции.

Вычисление экстремумов

1429–1444
Найти экстремумы функции:

Задача 1429

y=x3−6x2+9x−4y=x^3-6x^2+9x-4

Задача 1430

y=2x2−x4y=2x^2-x^4

Задача 1431

y=x(x−1)2(x−2)3y=x(x-1)^2(x-2)^3

Задача 1432

y=x+1xy=x+\frac1x

Задача 1433

y=2x1+x2y=\frac{2x}{1+x^2}

Задача 1434

y=x2−3x+2x2+2x+1y=\frac{x^2-3x+2}{x^2+2x+1}

Задача 1435

y=2x−x2y=\sqrt{2x-x^2}

Задача 1436

y=xx−13y=x\sqrt[3]{x-1}

Задача 1437

y=xe−xy=xe^{-x}

Задача 1438

y=xln⁡xy=\sqrt{x}\ln x

Задача 1439

y=ln⁡2xxy=\frac{\ln^2 x}{x}

Задача 1440

y=cos⁡x+12cos⁡2xy=\cos x+\frac{1}{2}\cos 2x

Задача 1441

y=101+sin⁡2xy=\frac{10}{1+\sin^2x}

Задача 1442

y=arctg⁡x−12ln⁡(1+x2)y=\operatorname{arctg} x-\frac12\ln(1+x^2)

Задача 1443

y=exsin⁡xy=e^x\sin x

Задача 1444

y=∣x∣e−∣x−1∣y=|x|e^{-|x-1|}

Наибольшее и наименьшее значения на отрезке

1445–1449
Найти наименьшее и наибольшее значения функции:

Задача 1445

f(x)=2xf(x)=2^xна сегменте [−1;5][-1;5].

Задача 1446

f(x)=x2−4x+6f(x)=x^2-4x+6на сегменте [−3;10][-3;10].

Задача 1447

f(x)=∣x2−3x+2∣f(x)=|x^2-3x+2|на сегменте [−10;10][-10;10].

Задача 1448

f(x)=x+1xf(x)=x+\frac1xна сегменте [0,01;100][0{,}01;100].

Задача 1449

f(x)=5−4xf(x)=\sqrt{5-4x}на сегменте [−1;1][-1;1].

Инфимум и супремум функций

1450–1454
Найти нижнюю грань (inf) и верхнюю грань (sup) функции:

Задача 1450

f(x)=xe−0,01xf(x)=xe^{-0{,}01x} на интервале (0,+∞)(0,+\infty).

Задача 1451

f(x)=(1+x+x22!+⋯+xnn!)e−xf(x)=\left(1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}\right)e^{-x}на интервале (0,+∞)(0,+\infty). Здесь nn — натуральное число.

Задача 1452

f(x)=1+x21+x4f(x)=\frac{1+x^2}{1+x^4}на интервале (0,+∞)(0,+\infty).

Задача 1453

f(x)=e−x2cos⁡x2f(x)=e^{-x^2}\cos x^2на интервале (−∞,+∞)(-\infty,+\infty).

Задача 1454

1. Определить нижнюю и верхнюю грани функцииf(ξ)=1+ξ3+ξ2f(\xi)=\frac{1+\xi}{3+\xi^2}на интервале x<ξ<+∞x<\xi<+\infty. Построить графики функцийM(x)=sup⁡x<ξ<+∞f(ξ),m(x)=inf⁡x<ξ<+∞f(ξ)M(x)=\sup_{x<\xi<+\infty}f(\xi),
\qquad
m(x)=\inf_{x<\xi<+\infty}f(\xi)2. ПустьMk=sup⁡x∈R∣f(k)(x)∣,k=0,1,2,…M_k=\sup_{x\in\mathbb R}\left|f^{(k)}(x)\right|,
\qquad k=0,1,2,\ldotsНайти M0M_0, M1M_1 и M2M_2, еслиf(x)=e−x2f(x)=e^{-x^2}

Приложения экстремумов и минимаксные задачи

1455–1461

Задача 1455

Определить наибольший член последовательности:а) n102n(n=1,2,…);б) nn+10000(n=1,2,…);\text{а) }\frac{n^{10}}{2^n}\quad(n=1,2,\ldots);
\qquad
\text{б) }\frac{\sqrt n}{n+10000}\quad(n=1,2,\ldots);в) nn(n=1,2,…)\text{в) }\sqrt[n]{n}\quad(n=1,2,\ldots)

Задача 1456

1. Доказать неравенства:а) ∣3x−x3∣≤2при ∣x∣≤2\text{а) }|3x-x^3|\le2\quad\text{при }|x|\le2б) 12p−1≤xp+(1−x)p≤10≤x≤1, p>1\text{б) }\frac1{2^{p-1}}\le x^p+(1-x)^p\le1
\quad 0\le x\le1,\ p>1в) xm(a−x)n≤mmnn(m+n)m+nam+nm>0, n>0, 0≤x≤a\text{в) }x^m(a-x)^n\le
\frac{m^mn^n}{(m+n)^{m+n}}a^{m+n}
\quad m>0,\ n>0,\ 0\le x\le aг) x+a2n−1n≤xn+ann≤x+ax>0, a>0, n>1\text{г) }\frac{x+a}{2^{\frac{n-1}{n}}}\le\sqrt[n]{x^n+a^n}\le x+a
\quad x>0,\ a>0,\ n>1д) ∣asin⁡x+bcos⁡x∣≤a2+b2\text{д) }|a\sin x+b\cos x|\le\sqrt{a^2+b^2}2. Доказать неравенство23≤x2+1x2+x+1≤2\frac23\le\frac{x^2+1}{x^2+x+1}\le2при −∞<x<+∞-\infty<x<+\infty.

Задача 1457

Определить «отклонение от нуля» многочленаP(x)=x(x−1)2(x+2)P(x)=x(x-1)^2(x+2)на сегменте [−2,1][-2,1], т. е. найтиEP=sup⁡−2≤x≤1∣P(x)∣E_P=\sup_{-2\le x\le1}|P(x)|

Задача 1458

При каком выборе коэффициента qq многочленP(x)=x2+qP(x)=x^2+qнаименее отклоняется от нуля на сегменте [−1,1][-1,1], т. е.EP=sup⁡−1≤x≤1∣P(x)∣=min⁡E_P=\sup_{-1\le x\le1}|P(x)|=\min

Задача 1459

Абсолютным отклонением двух функций f(x)f(x) и g(x)g(x) на сегменте [a,b][a,b] называется числоΔ=sup⁡a≤x≤b∣f(x)−g(x)∣\Delta=\sup_{a\le x\le b}|f(x)-g(x)|Определить абсолютное отклонение функцийf(x)=x2,g(x)=x3f(x)=x^2,
\qquad g(x)=x^3на сегменте [0,1][0,1].

Задача 1460

Функциюf(x)=x2f(x)=x^2на сегменте [x1,x2][x_1,x_2] приближённо заменить линейной функциейg(x)=(x1+x2)x+bg(x)=(x_1+x_2)x+bтак, чтобы абсолютное отклонение функций f(x)f(x) и g(x)g(x) (см. предыдущую задачу) было наименьшим, и определить это наименьшее абсолютное отклонение.

Задача 1461

Определить минимум функцииf(x)=max⁡{2∣x∣,∣1+x∣}f(x)=\max\{2|x|,|1+x|\}

Подсчёт и отделение корней

1462–1470
Определить число вещественных корней уравнения и отделить эти корни:

Задача 1462

x3−6x2+9x−10=0x^3-6x^2+9x-10=0

Задача 1463

x3−3x2−9x+h=0x^3-3x^2-9x+h=0

Задачи 1–50 из 57