Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 901

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти производную функции

y=\ln\operatorname{tg}\frac x2

Ответ:При

2\pi k<x<(2k+1)\pi

k\in\mathbb Z

, имеем

\displaystyle y'=\frac1{\sin x}

Решение

Идея

Логарифм определён, когда

\operatorname{tg}\dfrac x2>0

. Это выполняется на
промежутках

2\pi k<x<(2k+1)\pi

k\in\mathbb Z

.
Положим

u=\dfrac x2

. Тогда

\begin{aligned} y'&=\frac1{\operatorname{tg} u}\cdot\frac1{\cos^2u}\cdot\frac12=\\ &=\frac1{2\sin u\cos u} =\frac1{\sin x}\end{aligned}