Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 6

Демидович § 6. Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши

Условия, ответы и подробные решения задач 1235–1267

Задачи 1235–1267

36 из 36 с разбором

Теорема Ролля

1235–1243

Задача 1235

Проверить справедливость теоремы Ролля для функцииf(x)=(x−1)(x−2)(x−3)f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)

Задача 1236

Функцияf(x)=1−x23f(x)=1-\sqrt[3]{x^2}обращается в нуль при x1=−1x_1=-1 и x2=1x_2=1, но тем не менее f′(x)≠0f'(x)\ne0 при −1≤x≤1-1\le x\le1. Объяснить кажущееся противоречие с теоремой Ролля.

Задача 1237

Пусть функция f(x)f(x) имеет конечную производную f′(x)f'(x) в каждой точке конечного или бесконечного интервала (a,b)(a,b) иlim⁡x→a+0f(x)=lim⁡x→b−0f(x)\lim_{x\to a+0}f(x)=\lim_{x\to b-0}f(x)Доказать, чтоf′(c)=0f'(c)=0где cc — некоторая точка интервала (a,b)(a,b).

Задача 1238

Пусть: 1) функция f(x)f(x) определена и имеет непрерывную производную (n−1)(n-1)-го порядка f(n−1)(x)f^{(n-1)}(x) на сегменте [x0,xn][x_0,x_n]; 2) f(x)f(x) имеет производную nn-го порядка f(n)(x)f^{(n)}(x) в интервале (x0,xn)(x_0,x_n) и 3) выполнены равенстваf(x0)=f(x1)=⋯=f(xn)(x0<x1<⋯<xn)f(x_0)=f(x_1)=\cdots=f(x_n)
\qquad(x_0<x_1<\cdots<x_n)Доказать, что в интервале (x0,xn)(x_0,x_n) существует по меньшей мере одна точка ξ\xi такая, чтоf(n)(ξ)=0f^{(n)}(\xi)=0

Задача 1239

Пусть: 1) функция f(x)f(x) определена и имеет непрерывную производную (p+q)(p+q)-го порядка f(p+q)(x)f^{(p+q)}(x) на сегменте [a,b][a,b]; 2) f(x)f(x) имеет производную (p+q+1)(p+q+1)-го порядка f(p+q+1)(x)f^{(p+q+1)}(x) в интервале (a,b)(a,b); 3) выполнены равенстваf(a)=f′(a)=⋯=f(p)(a)=0f(a)=f'(a)=\cdots=f^{(p)}(a)=0f(b)=f′(b)=⋯=f(q)(b)=0f(b)=f'(b)=\cdots=f^{(q)}(b)=0Доказать, что в таком случаеf(p+q+1)(c)=0f^{(p+q+1)}(c)=0где cc — некоторая точка интервала (a,b)(a,b).

Задача 1240

Доказать, что если все корни многочленаPn(x)=a0xn+a1xn−1+⋯+an,a0≠0P_n(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_n, \qquad a_0\ne0с действительными коэффициентами aka_k (k=0,1,…,n)(k=0,1,\ldots,n) вещественны, то его последовательные производные Pn′(x)P_n'(x), Pn′′(x)P_n''(x), …\ldots, Pn(n−1)(x)P_n^{(n-1)}(x) также имеют лишь вещественные корни.

Задача 1241

Доказать, что у многочлена ЛежандраPn(x)=12nn!dndxn{(x2−1)n}P_n(x)=\frac1{2^n n!}\frac{d^n}{dx^n}\{(x^2-1)^n\}все корни вещественные и заключены в интервале (−1,1)(-1,1).

Задача 1242

Доказать, что у многочлена Чебышева–ЛагерраLn(x)=exdndxn(xne−x)L_n(x)=e^x\frac{d^n}{dx^n}(x^ne^{-x})все корни положительные.

Задача 1243

Доказать, что у многочлена Чебышева–ЭрмитаHn(x)=(−1)nex2dndxn(e−x2)H_n(x)=(-1)^ne^{x^2}\frac{d^n}{dx^n}(e^{-x^2})все корни вещественные.

Теорема Лагранжа

1244–1251

Задача 1244

Найти на кривой y=x3y=x^3 точку, касательная в которой параллельна хорде, соединяющей точки A(−1,−1)A(-1,-1) и B(2,8)B(2,8).

Задача 1245

Верна ли формула конечных приращений для функцииf(x)=1xf(x)=\frac1xна сегменте [a,b][a,b], если ab<0ab<0?

Задача 1246

Найти функцию θ=θ(x,Δx)\theta=\theta(x,\Delta x) такую, чтоf(x+Δx)−f(x)=Δx f′(x+θΔx)(0<θ<1),f(x+\Delta x)-f(x)=\Delta x\,f'(x+\theta\Delta x)
\qquad(0<\theta<1),если:а) f(x)=ax2+bx+c(a≠0);б) f(x)=x3;\text{а) }f(x)=ax^2+bx+c\quad(a\ne0);
\qquad
\text{б) }f(x)=x^3;в) f(x)=1x;г) f(x)=ex.\text{в) }f(x)=\frac1x;
\qquad
\text{г) }f(x)=e^x.

Задача 1246.1

Пусть f(x)∈C(1)(−∞,+∞)f(x)\in C^{(1)}(-\infty,+\infty) и для любых xx и hh справедливо тождество:f(x+h)−f(x)≡hf′(x)f(x+h)-f(x)\equiv hf'(x)Доказать, чтоf(x)=ax+bf(x)=ax+bгде aa и bb — постоянные.

Задача 1246.2

Пусть f(x)∈C(2)(−∞,+∞)f(x)\in C^{(2)}(-\infty,+\infty) и для любых xx и hh справедливо тождество:f(x+h)−f(x)≡hf′(x+h2)f(x+h)-f(x)\equiv hf'\left(x+\frac h2\right)Доказать, чтоf(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+cгде a,ba,b и cc — постоянные

Задача 1247

Доказать, что если x≥0x\ge0, тоx+1−x=12x+θ(x)\sqrt{x+1}-\sqrt{x}=\frac1{2\sqrt{x+\theta(x)}}где14≤θ(x)≤12\frac14\le\theta(x)\le\frac12причёмlim⁡x→0θ(x)=14,lim⁡x→+∞θ(x)=12\lim_{x\to0}\theta(x)=\frac14, \qquad \lim_{x\to+\infty}\theta(x)=\frac12

Задача 1248

Пустьf(x)={3−x22,0≤x≤1,1x,1<x<+∞f(x)=
\begin{cases}
\dfrac{3-x^2}{2},&0\le x\le1,\\[2mm]
\dfrac1x,&1<x<+\infty
\end{cases}Определить промежуточное значение cc формулы конечных приращений для функции f(x)f(x) на сегменте [0,2][0,2].

Задача 1249

Пустьf(x)−f(0)=xf′(ξ(x)),0<ξ(x)<xf(x)-f(0)=xf'(\xi(x)),
\qquad 0<\xi(x)<xДоказать, что еслиf(x)=xsin⁡(ln⁡x)при x>0,f(0)=0f(x)=x\sin(\ln x)\quad\text{при }x>0,
\qquad f(0)=0то функция ξ=ξ(x)\xi=\xi(x) разрывна в любом сколь угодно малом интервале (0,ε)(0,\varepsilon), где ε>0\varepsilon>0.

Задача 1250

Пусть функция f(x)f(x) имеет непрерывную производную f′(x)f'(x) в интервале (a,b)(a,b). Можно ли для всякой точки ξ\xi из (a,b)(a,b) указать две другие точки x1x_1 и x2x_2 из этого интервала такие, чтоf(x2)−f(x1)x2−x1=f′(ξ)(x1<ξ<x2)?\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=f'(\xi)
\qquad(x_1<\xi<x_2)?Рассмотреть пример:f(x)=x3(−1≤x≤1)f(x)=x^3\qquad(-1\le x\le1)где ξ=0\xi=0.

Задача 1251

Доказать неравенства:а) ∣sin⁡x−sin⁡y∣≤∣x−y∣\text{а) }|\sin x-\sin y|\le|x-y|б) pyp−1(x−y)≤xp−yp≤pxp−1(x−y)если 0<y<x и p>1\text{б) }py^{p-1}(x-y)\le x^p-y^p\le px^{p-1}(x-y)
\quad\text{если }0<y<x\text{ и }p>1в) ∣arctg⁡a−arctg⁡b∣≤∣a−b∣\text{в) }|\operatorname{arctg} a-\operatorname{arctg} b|\le|a-b|г) a−ba<ln⁡ab<a−bbесли 0<b<a\text{г) }\frac{a-b}{a}<\ln\frac ab<\frac{a-b}{b}
\quad\text{если }0<b<a

Теорема Коши и следствия

1252–1267

Задача 1252

Объяснить, почему не верна формула Коши для функцийf(x)=x2иg(x)=x3f(x)=x^2
\qquad\text{и}\qquad
g(x)=x^3на сегменте [−1,1][-1,1]

Задача 1253

Пусть функция f(x)f(x) дифференцируема на сегменте [x1,x2][x_1,x_2], причём x1x2>0x_1x_2>0. Доказать, что1x1−x2∣x1x2f(x1)f(x2)∣=f(ξ)−ξf′(ξ)\frac1{x_1-x_2}
\begin{vmatrix}
x_1&x_2\\
f(x_1)&f(x_2)
\end{vmatrix}
=f(\xi)-\xi f'(\xi)где x1<ξ<x2x_1<\xi<x_2

Задача 1254

Доказать, что если функция f(x)f(x) дифференцируема, но не ограничена на конечном интервале (a,b)(a,b), то её производная f′(x)f'(x) также не ограничена на интервале (a,b)(a,b). Обратная теорема не верна (построить пример).

Задача 1255

Доказать, что если функция f(x)f(x) имеет в конечном или бесконечном интервале (a,b)(a,b) ограниченную производную f′(x)f'(x), то f(x)f(x) равномерно непрерывна на (a,b)(a,b).
Доказать, что если функция f(x)f(x) дифференцируема в бесконечном интервале (x0,+∞)(x_0,+\infty) и

Задача 1256

lim⁡x→+∞f′(x)=0\lim_{x\to+\infty}f'(x)=0тоlim⁡x→+∞f(x)x=0\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}x=0т. е. f(x)=o(x)f(x)=o(x) при x→+∞x\to+\infty.

Задача 1257

f(x)=o(x)при x→+∞f(x)=o(x)\quad\text{при }x\to+\inftyтоlim‾⁡x→+∞∣f′(x)∣=0\varliminf_{x\to+\infty}|f'(x)|=0В частности, если существуетlim⁡x→+∞f′(x)=k\lim_{x\to+\infty}f'(x)=kто k=0k=0.

Задача 1258.1

Доказать, что если:

1) функция f(x)f(x) определена и непрерывна на сегменте [x0,X][x_0,X];

2) f(x)f(x) имеет конечную производную f′(x)f'(x) в интервале (x0,X)(x_0,X);

3) существует конечный или бесконечный пределlim⁡x→x0+0f′(x)=f′(x0+0)\lim_{x\to x_0+0}f'(x)=f'(x_0+0)то существует соответственно конечная или бесконечная односторонняя
производная f+′(x0)f'_+(x_0) иf+′(x0)=f′(x0+0)f'_+(x_0)=f'(x_0+0)

Задача 1258.2

Показать, что для функцииf(x)=arctan⁡1+x1−x(x≠1)f(1)=0f(x)=\arctan\dfrac{1+x}{1-x}
\quad(x\ne1)
\qquad
f(1)=0существует конечный пределlim⁡x→1f′(x)\lim_{x\to1}f'(x)однако функция f(x)f(x) не имеет односторонних производных f−′(1)f'_-(1) и
f+′(1)f'_+(1). Дать геометрическую иллюстрацию этого факта. Однако в этой
точке существуют обобщённые односторонние производные (см. 1009.2).

Задача 1259

Доказать, что если f′(x)=0f'(x)=0 при a<x<ba<x<b, тоf(x)=constпри a<x<bf(x)=\mathrm{const}\quad\text{при }a<x<b

Задача 1260

Доказать, что единственная функция f(x)f(x) (−∞<x<+∞)(-\infty<x<+\infty), имеющая постоянную производнуюf′(x)=kf'(x)=kесть линейная функцияf(x)=kx+bf(x)=kx+b

Задача 1261

1. Что можно сказать о функции f(x)f(x), еслиf(n)(x)=0?f^{(n)}(x)=0?2. Пусть f(x)∈C(∞)(−∞,+∞)f(x)\in C^{(\infty)}(-\infty,+\infty) и для каждого xx существует натуральное число nxn_x (nx≤n)(n_x\le n) такое, чтоf(nx)(x)=0f^{(n_x)}(x)=0Доказать, что функция f(x)f(x) есть полином.

Задача 1262

Доказать, что единственная функцияy=y(x)(−∞<x<+∞)y=y(x)\qquad(-\infty<x<+\infty)удовлетворяющая уравнениюy′=λy(λ=const)y'=\lambda y\qquad(\lambda=\mathrm{const})есть показательная функцияy=Ceλxy=Ce^{\lambda x}где CC — произвольная постоянная.

Указание. Рассмотреть (ye−λx)′(ye^{-\lambda x})'.

Опирается на задачу 1259

Задача 1263

Проверить, что функцииf(x)=arctg⁡1+x1−x,g(x)=arctg⁡xf(x)=\operatorname{arctg}\frac{1+x}{1-x},
\qquad
g(x)=\operatorname{arctg} xимеют одинаковые производные в областях: 1) x<1x<1; 2) x>1x>1.

Вывести зависимость между этими функциями.

Задача 1264

Доказать тождества:а) 2arctg⁡x+arcsin⁡2x1+x2=πsgn⁡xпри ∣x∣≥1\text{а) }2\operatorname{arctg} x+\arcsin\frac{2x}{1+x^2}
=\pi\operatorname{sgn}x\quad\text{при }|x|\ge1б) 3arccos⁡x−arccos⁡(3x−4x3)=πпри ∣x∣≤12\text{б) }3\arccos x-\arccos(3x-4x^3)
=\pi\quad\text{при }|x|\le\frac12

Задача 1265

Доказать, что если:

1) функция f(x)f(x) непрерывна на сегменте [a,b][a,b];

2) имеет конечную производную f′(x)f'(x) внутри него;

3) не является линейной,

то в интервале (a,b)(a,b) найдётся по меньшей мере одна точка cc такая,
что∣f′(c)∣>∣f(b)−f(a)b−a∣|f'(c)|>
\left|\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\right|Дать геометрическую иллюстрацию этого факта.

Задача 1266

Доказать, что если: 1) функция f(x)f(x) имеет вторую производную f′′(x)f''(x) на сегменте [a,b][a,b] и 2) f′(a)=f′(b)=0f'(a)=f'(b)=0, то в интервале (a,b)(a,b) существует по меньшей мере одна точка cc такая, что∣f′′(c)∣≥4(b−a)2∣f(b)−f(a)∣|f''(c)|\ge\frac4{(b-a)^2}|f(b)-f(a)|

Задача 1267

Автомобиль, начав двигаться из некоторого пункта AA, закончил свой путь через время tt, пройдя при этом расстояние ss. Доказать, что в некоторый момент времени ускорение движения автомобиля было не меньше4st2\frac{4s}{t^2}