Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 907

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача, подробное решение и ответ.

y=\frac1x\left(\ln^3x+3\ln^2x+6\ln x+6\right)

Ответ:

y'=-\frac{\ln^3x}{x^2}, \qquad x>0

Решение

Функция определена при

x>0

. Введём обозначение

P(t)=t^3+3t^2+6t+6

Тогда

y=\frac{P(\ln x)}x

По правилу производной произведения

\begin{aligned} y' &=-\frac{P(\ln x)}{x^2} +\frac1x\,P'(\ln x)\frac1x=\\ &=\frac{P'(\ln x)-P(\ln x)}{x^2}\end{aligned}

Поскольку

P'(t)=3t^2+6t+6, \qquad P'(t)-P(t)=-t^3

получаем

y'=-\frac{\ln^3x}{x^2}