Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 905

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача, подробное решение и ответ.

y=-\frac{\cos x}{2\sin^2x} +\ln\sqrt{\frac{1+\cos x}{\sin x}}

Ответ:

y'=\frac{\cos^2x}{\sin^3x}, \qquad x\in\bigcup_{k\in\mathbb Z} \bigl(2\pi k,(2k+1)\pi\bigr)

Решение

Идея

Из первой дроби следует условие

\sin x\ne0

. При этом

1+\cos x>0

, поэтому аргумент логарифма положителен тогда и только
тогда, когда

\sin x>0

. Таким образом,

D_y=\bigcup_{k\in\mathbb Z} \bigl(2\pi k,(2k+1)\pi\bigr)

Дифференцируем первое слагаемое как произведение

-\dfrac12\cos x\,\sin^{-2}x

\begin{aligned} \left(-\frac{\cos x}{2\sin^2x}\right)' &=\frac1{2\sin x}+\frac{\cos^2x}{\sin^3x}\end{aligned}

Для логарифмического слагаемого получаем

\begin{aligned} \left(\ln\sqrt{\frac{1+\cos x}{\sin x}}\right)' &=\frac12\left( -\frac{\sin x}{1+\cos x} -\frac{\cos x}{\sin x} \right)=\\ &=-\frac1{2\sin x}\end{aligned}

Здесь использовано равенство

\frac{\sin x}{1+\cos x} =\frac{1-\cos x}{\sin x}

Складывая производные, получаем

y'=\frac{\cos^2x}{\sin^3x}