Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 908

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача, подробное решение и ответ.

Задача 908

y=14x4ln⁡1x−116x4y=\frac1{4x^4}\ln\frac1x-\frac1{16x^4}
Ответ:y′=ln⁡xx5,x>0y'=\frac{\ln x}{x^5},
\qquad
x>0

Решение

Идея

Из условия 1x>0\dfrac1x>0 следует x>0x>0. Запишем функцию в виде
y=14x−4ln⁡1x−116x−4y=\frac14x^{-4}\ln\frac1x-\frac1{16}x^{-4}Так как(ln⁡1x)′=−1x\left(\ln\frac1x\right)'=-\frac1xимеемy′=14(−4x−5ln⁡1x−x−5)+14x−5==−1x5ln⁡1x=ln⁡xx5\begin{aligned}
y'
&=\frac14\left(
-4x^{-5}\ln\frac1x-x^{-5}
\right)+\frac14x^{-5}=\\
&=-\frac1{x^5}\ln\frac1x
=\frac{\ln x}{x^5}
\end{aligned}
Демидович № 908 — решение и ответ