Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 8

Демидович § 8. Направление вогнутости. Точки перегиба

Условия, ответы и подробные решения задач 1298–1317

Задачи 1298–1317

20 из 20 с разбором

Вогнутость и точки перегиба

1298–1310

Задача 1298

Исследовать направление вогнутости кривойy=1+x3y=1+\sqrt[3]{x}в точках A(−1,0)A(-1,0), B(1,2)B(1,2) и C(0,0)C(0,0)
Найти промежутки вогнутости определённого знака и точки перегиба графика функции:

Задача 1299

y=3x2−x3y=3x^2-x^3

Задача 1300

y=a3a2+x2(a>0)y=\frac{a^3}{a^2+x^2}
\qquad (a>0)

Задача 1301

y=x+x53y=x+x^{\frac53}

Задача 1302

y=1+x2y=\sqrt{1+x^2}

Задача 1303

y=x+sin⁡xy=x+\sin x

Задача 1304

y=e−x2y=e^{-x^2}

Задача 1305

y=ln⁡(1+x2)y=\ln(1+x^2)

Задача 1306

y=xsin⁡(ln⁡x),x>0y=x\sin(\ln x), \qquad x>0

Задача 1307

y=xx,x>0y=x^x, \qquad x>0

Задача 1308

Показать, что криваяy=x+1x2+1y=\frac{x+1}{x^2+1}имеет три точки перегиба, лежащие на одной прямой.

Построить график этой функции.

Задача 1309

При каком выборе параметра hh «кривая вероятности»y=hπe−h2x2,h>0y=\frac h{\sqrt\pi}e^{-h^2x^2}, \qquad h>0имеет точки перегиба x=±σx=\pm\sigma?

Задача 1310

Исследовать направление вогнутости циклоидыx=a(t−sin⁡t),y=a(1−cos⁡t),a>0x=a(t-\sin t), \qquad y=a(1-\cos t), \qquad a>0

Выпуклость и применения второй производной

1311–1317

Задача 1311

Пусть функция f(x)f(x) дважды дифференцируема в промежутке a≤x<+∞a\le x<+\infty, причём: 1) f(a)=A>0f(a)=A>0; 2) f′(a)<0f'(a)<0; 3) f′′(x)≤0f''(x)\le0 при x>ax>a.

Доказать, что уравнение f(x)=0f(x)=0 имеет один и только один действительный корень в интервале (a,+∞)(a,+\infty).

Задача 1312

Функция f(x)f(x) называется выпуклой снизу (сверху) на интервале (a,b)(a,b), если для любых точек x1x_1 и x2x_2 из этого интервала и произвольных чисел λ1\lambda_1 и λ2\lambda_2 (λ1>0, λ2>0, λ1+λ2=1)(\lambda_1>0,\ \lambda_2>0,\ \lambda_1+\lambda_2=1) имеет место неравенствоf(λ1x1+λ2x2)<λ1f(x1)+λ2f(x2)f(\lambda_1x_1+\lambda_2x_2)<\lambda_1f(x_1)+\lambda_2f(x_2)(или соответственно противоположное неравенство)f(λ1x1+λ2x2)>λ1f(x1)+λ2f(x2).f(\lambda_1x_1+\lambda_2x_2)>\lambda_1f(x_1)+\lambda_2f(x_2).Доказать, что:

1) функция f(x)f(x) выпукла снизу на (a,b)(a,b), если f′′(x)>0(a<x<b)f''(x)>0\qquad(a<x<b);

2) функция f(x)f(x) выпукла сверху на (a,b)(a,b), если f′′(x)<0(a<x<b)f''(x)<0\qquad(a<x<b).

Задача 1313

Показать, что функцииxn(n>1),ex,xln⁡xx^n\quad(n>1),\qquad e^x,\qquad x\ln xвыпуклы снизу на интервале (0,+∞)(0,+\infty), а функцииxn(0<n<1),ln⁡xx^n\quad(0<n<1),\qquad \ln xвыпуклы сверху на интервале (0,+∞)(0,+\infty).

Опирается на задачу 1312

Задача 1314

1. Доказать неравенства и выяснить их геометрический смысл:а) 12(xn+yn)>(x+y2)n(x>0, y>0, x≠y, n>1);\text{а) }\frac12(x^n+y^n)>\left(\frac{x+y}{2}\right)^n
\quad(x>0,\ y>0,\ x\ne y,\ n>1);б) ex+ey2>ex+y2(x≠y);\text{б) }\frac{e^x+e^y}{2}>e^{\frac{x+y}{2}}
\quad(x\ne y);в) xln⁡x+yln⁡y>(x+y)ln⁡x+y2,если x>0 и y>0 (x≠y).\text{в) }x\ln x+y\ln y>(x+y)\ln\frac{x+y}{2},
\quad\text{если }x>0\text{ и }y>0\ (x \ne y).2. Пусть f′′(x)≥0f''(x)\ge0 при a≤x≤ba\le x\le b. Доказать, чтоf(x1+x22)≤12[f(x1)+f(x2)]f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)
\le\frac12\bigl[f(x_1)+f(x_2)\bigr]при любых x1,x2∈[a,b]x_1,x_2\in[a,b].

Опирается на задачу 1312, задачу 1313

Задача 1315

Доказать, что ограниченная выпуклая функция всюду непрерывна и имеет односторонние левую и правую производные.

Задача 1316

Пусть функция f(x)f(x) дважды дифференцируема в интервале (a,b)(a,b) и f′′(ξ)≠0f''(\xi)\ne0, где a<ξ<ba<\xi<b. Доказать, что в интервале (a,b)(a,b) можно найти два значения x1x_1 и x2x_2 такие, чтоf(x2)−f(x1)x2−x1=f′(ξ).\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=f'(\xi).

Задача 1317

Доказать, что если функция f(x)f(x) дважды дифференцируема в бесконечном интервале (x0,+∞)(x_0,+\infty) иlim⁡x→x0+0f(x)=0,lim⁡x→+∞f(x)=0,\lim_{x\to x_0+0}f(x)=0, \qquad \lim_{x\to+\infty}f(x)=0,то в интервале (x0,+∞)(x_0,+\infty) имеется по меньшей мере одна точка ξ\xi такая, что f′′(ξ)=0f''(\xi)=0.