Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 873

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти производную функции

Задача 873

y=4ctg⁡2x3+ctg⁡8x3y=4\sqrt[3]{\operatorname{ctg}^2x}+\sqrt[3]{\operatorname{ctg}^8x}
Ответ:y′=−83sin⁡4xctg⁡x3y'=-\frac8{3\sin^4x\sqrt[3]{\operatorname{ctg} x}}Производная существует при sin⁡x≠0\sin x\ne0 и cos⁡x≠0\cos x\ne0.

Решение

Идея

Здесь кубические корни понимаются как действительные. Функция определена при
sin⁡x≠0\sin x\ne0. В точках, где ctg⁡x≠0\operatorname{ctg} x\ne0, положим

Проверка

u=ctg⁡x3u=\sqrt[3]{\operatorname{ctg} x}Тогда u3=ctg⁡xu^3=\operatorname{ctg} x иctg⁡2x3=u2ctg⁡8x3=u8\sqrt[3]{\operatorname{ctg}^2x}=u^2
\qquad
\sqrt[3]{\operatorname{ctg}^8x}=u^8поэтомуy=4u2+u8y=4u^2+u^8Дифференцируем равенство u3=ctg⁡xu^3=\operatorname{ctg} x:3u2u′=−1sin⁡2xu′=−13u2sin⁡2x3u^2u'=-\frac1{\sin^2x}
\qquad
u'=-\frac1{3u^2\sin^2x}Отсюдаy′=(8u+8u7)u′=−83sin⁡2x(1u+u5)==−83sin⁡2x1+u6u\begin{aligned}
y'=(8u+8u^7)u'
&=-\frac8{3\sin^2x}\left(\frac1u+u^5\right)=\\
&=-\frac8{3\sin^2x}\frac{1+u^6}{u}
\end{aligned}Так как u6=ctg⁡2xu^6=\operatorname{ctg}^2x и 1+ctg⁡2x=1/sin⁡2x1+\operatorname{ctg}^2x=1/\sin^2x, тоy′=−83sin⁡4xctg⁡x3y'=-\frac8{3\sin^4x\sqrt[3]{\operatorname{ctg} x}}Рассмотрим отдельно точки x0=π/2+πkx_0=\pi/2+\pi k, в которых ctg⁡x0=0\operatorname{ctg} x_0=0.
При x→x0x\to x_0 имеемctg⁡x∼−(x−x0)\operatorname{ctg} x\sim-(x-x_0)поэтому4ctg⁡2x3∼4∣x−x0∣2/34\sqrt[3]{\operatorname{ctg}^2x}\sim4|x-x_0|^{2/3}Второе слагаемое имеет более высокий порядок малости, следовательно,y(x)−y(x0)x−x0∼4∣x−x0∣2/3x−x0\frac{y(x)-y(x_0)}{x-x_0}
\sim4\frac{|x-x_0|^{2/3}}{x-x_0}Модуль этого отношения имеет порядок ∣x−x0∣−1/3|x-x_0|^{-1/3} и неограниченно
возрастает. Поэтому конечной производной в точках x0x_0 нет. При x=πkx=\pi k
сама функция не определена.
Демидович № 873 — решение и ответ