Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 5

Демидович § 5. Производные и дифференциалы высших порядков

Условия, ответы и подробные решения задач 1111–1234

Задачи 1111–1234

126 из 126 с разбором

Вторые и третьи производные

1111–1129

Задача 1111

y=x1+x2.y=x\sqrt{1+x^2}.

Задача 1112

y=x1−x2.y=\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}.

Задача 1113

y=e−x2.y=e^{-x^2}.

Задача 1114

y=tan⁡x.y=\tan x.

Задача 1115

y=(1+x2)arctan⁡x.y=(1+x^2)\arctan x.

Задача 1116

y=arcsin⁡x1−x2.y=\frac{\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}.

Задача 1117

y=xln⁡x.y=x\ln x.

Задача 1118

y=ln⁡f(x).y=\ln f(x).

Задача 1119

y=x[sin⁡(ln⁡x)+cos⁡(ln⁡x)].y=x[\sin(\ln x)+\cos(\ln x)].

Задача 1120

Найти y(0)y(0), y′(0)y'(0) и y′′(0)y''(0), еслиy=esin⁡xcos⁡(sin⁡x).y=e^{\sin x}\cos(\sin x).

Задача 1121

y=u2.y=u^2.

Задача 1122

y=ln⁡uv.y=\ln\frac uv.

Задача 1123

y=u2+v2.y=\sqrt{u^2+v^2}.

Задача 1124

y=uv,u>0.y=u^v,
\qquad u>0.

Задача 1125

y=f(x2).y=f(x^2).

Задача 1126

y=f(1x).y=f\left(\frac1x\right).

Задача 1127

y=f(ex).y=f(e^x).

Задача 1128

y=f(ln⁡x).y=f(\ln x).

Задача 1129

y=f(φ(x)),y=f(\varphi(x)),где φ(x)\varphi(x) — достаточное число раз дифференцируемая функция.

Второй дифференциал

1130–1139

Задача 1130

Найти d2yd^2y для функцииy=exy=e^xв двух случаях:

а) xx — независимая переменная;

б) xx — промежуточный аргумент.

Задача 1131

y=1+x2.y=\sqrt{1+x^2}.

Задача 1132

y=ln⁡xx.y=\frac{\ln x}{x}.

Задача 1133

y=xx.y=x^x.

Задача 1134

y=uv.y=uv.

Задача 1135

y=uv.y=\frac uv.

Задача 1136

y=umvn,y=u^mv^n,где mm и nn — постоянные.

Задача 1137

y=au,a>0.y=a^u,
\qquad a>0.

Задача 1138

y=ln⁡u2+v2.y=\ln\sqrt{u^2+v^2}.

Задача 1139

y=arctan⁡uv.y=\arctan\frac uv.

Высшие производные параметрических функций

1140–1144

Задача 1140

x=2t−t2,y=3t−t3.x=2t-t^2,
\qquad y=3t-t^3.

Задача 1141

x=acos⁡t,y=asin⁡t.x=a\cos t,
\qquad y=a\sin t.

Задача 1142

x=a(t−sin⁡t),y=a(1−cos⁡t).x=a(t-\sin t),
\qquad y=a(1-\cos t).

Задача 1143

x=etcos⁡t,y=etsin⁡t.x=e^t\cos t,
\qquad y=e^t\sin t.

Задача 1144

x=f′(t),y=tf′(t)−f(t).x=f'(t),
\qquad y=tf'(t)-f(t).

Высшие производные и гладкое соединение

1145–1151

Задача 1145

Пусть функция y=f(x)y=f(x) дифференцируема достаточное число раз. Найти производные x′x', x′′x'', x′′′x''', xIVx^{\mathrm{IV}} обратной функцииx=f−1(y),x=f^{-1}(y),предполагая, что эти производные существуют.

Задача 1146

x2+y2=25.x^2+y^2=25.Чему равны y′y', y′′y'' и y′′′y''' в точке M(3,4)M(3,4)?

Задача 1147

y2=2px.y^2=2px.

Задача 1148

x2−xy+y2=1.x^2-xy+y^2=1.

Задача 1149

y2+2ln⁡y=x4.y^2+2\ln y=x^4.

Задача 1150

x2+y2=aearctan⁡yx,a>0.\sqrt{x^2+y^2}=ae^{\arctan\frac yx},
\qquad a>0.

Задача 1151

Пусть функция f(x)f(x) определена и дважды дифференцируема при x≤x0x\le x_0. Как следует подобрать коэффициенты a,ba,b и cc, чтобы функцияF(x)={f(x),x≤x0a(x−x0)2+b(x−x0)+c,x>x0F(x)=
\begin{cases}
f(x),&x\le x_0 \\
a(x-x_0)^2+b(x-x_0)+c,&x>x_0
\end{cases}была дважды дифференцируема.

Кинематика и производные заданного порядка

1152–1170

Задача 1152

Точка движется прямолинейно по законуs=10+20t−5t2.s=10+20t-5t^2.Найти скорость и ускорение движения. Чему равны скорость и ускорение в момент времени t=2t=2?

Задача 1153

Точка M(x,y)M(x,y) равномерно движется по окружностиx2+y2=a2,x^2+y^2=a^2,делая один оборот за время TT. Найти скорость vv и ускорение ww проекции точки MM на ось OxOx, если при t=0t=0 точка занимала положение M0(a,0)M_0(a,0).

Задача 1154

Тяжёлая материальная точка M(x,y)M(x,y) брошена с начальной скоростью v0v_0 в вертикальной плоскости OxyOxy под углом α\alpha к плоскости горизонта. Составить (пренебрегая сопротивлением воздуха) уравнение движения и определить скорость vv и ускорение ww, а также траекторию движения. Чему равны наибольшая высота поднятия точки и дальность полёта?

Задача 1155

Уравнения движения точкиx=4sin⁡ωt−3cos⁡ωt,y=3sin⁡ωt+4cos⁡ωtx=4\sin\omega t-3\cos\omega t,
\qquad
y=3\sin\omega t+4\cos\omega t(ω\omega — постоянно).

Определить траекторию движения, скорость и ускорение.

Задача 1156

y=x(2x−1)2(x+3)3;y=x(2x-1)^2(x+3)^3;найти y(6)y^{(6)} и y(7)y^{(7)}.

Задача 1157

y=axm;y=\frac{a}{x^m};найти y′′′y'''.

Задача 1158

y=x;y=\sqrt{x};найти y(10)y^{(10)}.

Задача 1159

y=x21−x;y=\frac{x^2}{1-x};найти y(8)y^{(8)}.

Задача 1160

y=1+x1−x;y=\frac{1+x}{\sqrt{1-x}};найти y(100)y^{(100)}.

Задачи 1–50 из 126