Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 881

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти производную функции

Задача 881

y=ln⁡3⋅sin⁡x+cos⁡x3xy=\frac{\ln3\cdot\sin x+\cos x}{3^x}
Ответ:y′=−(1+ln⁡23)sin⁡x3x\displaystyle y'=-\frac{(1+\ln^23)\sin x}{3^x}

Решение

Идея

Запишем функцию как произведение
y=3−x(ln⁡3⋅sin⁡x+cos⁡x)y=3^{-x}(\ln3\cdot\sin x+\cos x) и применим правило произведения:
y′=3−x(ln⁡3⋅cos⁡x−sin⁡x)−ln⁡3⋅3−x(ln⁡3⋅sin⁡x+cos⁡x)==−3−x(1+ln⁡23)sin⁡x\begin{aligned}
y'&=3^{-x}(\ln3\cdot\cos x-\sin x)
-\ln3\cdot3^{-x}(\ln3\cdot\sin x+\cos x)=\\
&=-3^{-x}\bigl(1+\ln^23\bigr)\sin x
\end{aligned}
Демидович № 881 — решение и ответ