Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 881

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти производную функции

y=\frac{\ln3\cdot\sin x+\cos x}{3^x}

Ответ:

\displaystyle y'=-\frac{(1+\ln^23)\sin x}{3^x}

Решение

Запишем функцию как произведение

y=3^{-x}(\ln3\cdot\sin x+\cos x)

и применим правило произведения:

\begin{aligned} y'&=3^{-x}(\ln3\cdot\cos x-\sin x) -\ln3\cdot3^{-x}(\ln3\cdot\sin x+\cos x)=\\ &=-3^{-x}\bigl(1+\ln^23\bigr)\sin x\end{aligned}