Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 874

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти производную функции

y=\sec^2\frac xa+\operatorname{cosec}^2\frac xa

Ответ:

y'=-\frac{16}{a}\operatorname{cosec}^2\frac{2x}{a} \operatorname{ctg}\frac{2x}{a}

Решение

Идея

Предполагаем, что

a\ne0

. Обозначим

u=x/a

. Используя

\sin^2u+\cos^2u=1

, преобразуем функцию:

\begin{aligned} y&=\frac1{\cos^2u}+\frac1{\sin^2u}=\\ &=\frac1{\sin^2u\cos^2u} =\frac4{\sin^22u} =4\operatorname{cosec}^22u\end{aligned}

Поскольку

(2u)'=2/a

, имеем

\begin{aligned} y'&=4\bigl(-2\operatorname{cosec}^22u\,\operatorname{ctg}2u\bigr) \frac2a=\\ &=-\frac{16}{a}\operatorname{cosec}^2\frac{2x}{a} \operatorname{ctg}\frac{2x}{a}\end{aligned}

Формула рассматривается в точках, где

\sin(2x/a)\ne0